Question

4．如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是直角梯形，其中AB⊥AD，AB=2AD=2AA₁=4，CD=1．
（Ⅰ）證明：BD₁⊥平面A₁C₁D；
（Ⅱ）求BD₁與平面A₁BC₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AD₁，B₁D₁，證明A₁D⊥BD₁，A₁C₁⊥BD₁，即可證明：BD₁⊥平面A₁C₁D；
（Ⅱ）建立坐標系，求出平面的法向量，即可求BD₁與平面A₁BC₁所成角的正弦值．

解答 （Ⅰ）證明：連接AD₁，B₁D₁，則AB是平面AD₁的垂線，BD₁是平面AD₁的斜線，AD₁是BD₁在平面AD₁內的射影，∴A₁D⊥BD₁，
∵Rt△C₁D₁A₁∽Rt△B₁A₁D₁，∴∠D₁A₁C₁+∠A₁D₁B₁=∠D₁A₁C₁+∠D₁C₁A₁=90°，∴A₁C₁⊥B₁D₁，∴A₁C₁⊥BD₁，
∵A₁D∩A₁C₁=A₁，
∴BD₁⊥平面A₁C₁D；
（Ⅱ）解：建立如圖所示的坐標系，則A₁（0，0，0），B（2，4，0），C₁（0，1，2），D₁（0，0，2），
$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（2，4，0），$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（0，1，2），$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-2，-4，2），
設BD₁與平面A₁BC₁所成角為θ，平面A₁BC₁的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{2x+4y=0}\\{y+2z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（4，-2，1），
則sinθ=|$\frac{2}{\sqrt{24}•\sqrt{21}}$=$\frac{\sqrt{14}}{42}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查線面角，考查向量方法的運用，屬于中檔題．