Question

9．如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，點D，E分別線段AC，AB上，線段DE分三角形ABC為面積相等的兩部分，設AD=x，DE=y．
（1）求y與x之間的函數關系式；（不要求寫定義域）
（2）求y的最小值，并求此時x的值．

Answer 1

分析 （1）過D作DF⊥AB于F，把sinA用含有x的代數式表示，得到DF、AF和AE、EF，
再利用等積法和勾股定理可得y的解析式；
（2）利用基本不等式即可求得y的最小值．

解答 解：（1）設AD=x，DE=y，
∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，
過D作DF⊥AB于F，如圖所示；
則sinA=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{5}$=$\frac{DF}{x}$，
∴DF=$\frac{3}{5}$x，AF=$\frac{4}{5}$x；
又線段DE分三角形ABC為面積相等的兩部分，
∴$\frac{1}{2}$AE•DF=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$×3×4，
∴AE=$\frac{6}{DF}$=$\frac{6}{\frac{3}{5}x}$=$\frac{10}{x}$，
∴EF=AE-AF=$\frac{10}{x}$-$\frac{4}{5}$x；
又DE²=DF²+EF²，
∴y²=${（\frac{3}{5}x）}^{2}$+${（\frac{10}{x}-\frac{4}{5}x）}^{2}$=x²+$\frac{100}{{x}^{2}}$-16，
∴y=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{100}{{x}^{2}}-16}$，其中0≤x≤4；
（2）∵y²=x²+$\frac{100}{{x}^{2}}$-16，其中0≤x≤4，
且x²+$\frac{100}{{x}^{2}}$≥2$\sqrt{{x}^{2}•\frac{100}{{x}^{2}}}$=20，
當且僅當x=$\sqrt{10}$時取“=”，
∴y的最小值為$\sqrt{20-16}$=2，此時x=$\sqrt{10}$．

點評 本題考查了三角形邊角關系的應用問題，也考查了簡單的數學建模思想方法以及求函數解析式的應用問題，是綜合性題目．