Question

17．已知函數(shù)f（x）=m（x-1）e^x+x²（m∈R）．
（Ⅰ）若m=-1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對任意的x＜0，不等式x²+（m+2）x＞f'（x）恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令h（x）=me^x-x-m，通過討論m的范圍，求出函數(shù)的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)m=-1時，f（x）=-（x-1）e^x+x²，則f'（x）=x（2-e^x）．
由f'（x）＞0得0＜x＜ln2，
由f'（x）＜0得x＜0或x＞ln2，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，ln2），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0），（ln2，+∞）（4分）
（Ⅱ）依題意，$f'（x）=mx（{{e^x}+\frac{2}{m}}）$＜x²+（m+2）x，
即x（me^x-x-m）＜0（5分）∵x＜0，∴me^x-x-m＞0，（6分）
令h（x）=me^x-x-m，則h'（x）=me^x-1，（7分）
當(dāng)m≤1時，h'（x）≤e^x-1＜0，則h（x）在（-∞，0）內(nèi)單調(diào)遞減，
所以h（x）＞h（0）=0，符合題意                        （9分）
當(dāng)m＞1時，h（x）在（-∞，-lnm）內(nèi)單調(diào)遞減，在（-lnm，0）內(nèi)單調(diào)遞增，
所以h（x）_min=h（-lnm）＜h（0）=0，不符合題意．       （11分）
綜上所述，m的取值范圍為（-∞，1]（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．