Question

12．已知函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{3}{x^3}+\frac{3}{2}{x^2}$+4x+m
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，0]上的最小值為-1，求f（x）在區(qū)間[-2，0]上的最大值；
（2）若函數(shù)f（x）有三個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的最小值，求出m的值，從而求出函數(shù)的最大值即可；
（2）求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值，得到關(guān)于m的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）f′（x）=-x²+3x+4=-（x-4）（x+1），
令f′（x）＞0，解得：-1＜x＜0，令f′（x）＜0，解得：-2＜x＜-1，
故f（x）在[-2，-1）遞減，在（-1，0]遞增，
∴f（x）_min=f（-1）=$\frac{1}{3}$+$\frac{3}{2}$-4+m=-1，解得：m=$\frac{7}{6}$；
∴f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{3}{2}$x²+4x+$\frac{7}{6}$，
∵f（-2）=$\frac{11}{6}$，f（0）=$\frac{7}{6}$，f（2）＞f（0），
∴f（x）在[-2，0]上的最大值是$\frac{11}{6}$；
（2）∵f′（x）=-（x+1）（x-4），
∴f（x）在（-∞，-1），（4，+∞）遞減，在（-1，4）遞增，
∴f（x）_極大值=f（4）=$\frac{56}{3}$+m，f（x）_極小值=f（-1）=-$\frac{13}{6}$+m，
要使f（x）有3個零點(diǎn)，則應(yīng)滿足：
$\left\{\begin{array}{l}{f（4）=\frac{56}{3}+m＞0}\\{f（-1）=-\frac{13}{6}+m＜0}\end{array}\right.$，
∴-$\frac{56}{3}$＜m＜$\frac{13}{6}$，
∴m的范圍是（-$\frac{56}{3}$，$\frac{13}{6}$）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．