Question

2．已知曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=3+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，0≤α＜π），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）．
（Ⅰ）若極坐標(biāo)為$（{\sqrt{2}，\frac{π}{4}}）$的點(diǎn)A在曲線C₁上，求曲線C₁與曲線C₂的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，3），且曲線C₁與曲線C₂交于B，D兩點(diǎn)，求|PB|•|PD|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）點(diǎn)$（{\sqrt{2}，\frac{π}{4}}）$對應(yīng)的直角坐標(biāo)為（1，1），由曲線C₁的參數(shù)方程知：曲線C₁是過點(diǎn)（-1，3）的直線，利用點(diǎn)斜式可得曲線C₁的方程．曲線C₂的極坐標(biāo)方程即ρ²=2$\sqrt{2}ρ$$sin（θ+\frac{π}{4}）$，展開化為：ρ²=2$\sqrt{2}$ρ×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinθ+cosθ），利用互化公式即可得出曲線C₂的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立即可得出交點(diǎn)坐標(biāo)．
（Ⅱ）由直線參數(shù)方程可判斷知：P在直線C₁上，將參數(shù)方程代入圓的方程得：t²-4（cosα-sinα）t+6=0，設(shè)點(diǎn)B，D對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，利用|PB|•|PD|=|t₁|•|t₂|=|t₁t₂|即可得出．

解答 解：（Ⅰ）點(diǎn)$（{\sqrt{2}，\frac{π}{4}}）$對應(yīng)的直角坐標(biāo)為（1，1），
由曲線C₁的參數(shù)方程知：曲線C₁是過點(diǎn)（-1，3）的直線，故曲線C₁的方程為：y-1=$\frac{3-1}{-1-1}$（x-1），化為x+y-2=0．
曲線C₂的極坐標(biāo)方程為$ρ=2\sqrt{2}sin（{θ+\frac{π}{4}}）$，即ρ²=2$\sqrt{2}ρ$$sin（θ+\frac{π}{4}）$，展開化為：ρ²=2$\sqrt{2}$ρ×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinθ+cosθ）．
可得曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-2x-2y=0，
聯(lián)立得$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}-2x-2y=0\\ x+y-2=0\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=2\\{y_1}=0\end{array}\right.，\left\{\begin{array}{l}{x_2}=0\\{y_2}=2\end{array}\right.$，
故交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（2，0），（0，2）．
（Ⅱ）由直線參數(shù)方程可判斷知：P在直線C₁上，將$\left\{\begin{array}{l}x=-1+tcosα\\ y=3+tsinα\end{array}\right.$代入方程x²+y²-2x-2y=0得：t²-4（cosα-sinα）t+6=0，
設(shè)點(diǎn)B，D對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，則|PB|=|t₁|，|PD|=|t₂|，而t₁t₂=6，
∴|PB|•|PD|=|t₁|•|t₂|=|t₁t₂|=6．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程及其應(yīng)用、曲線交點(diǎn)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．