Question

16．若函數(shù)f（x）=x³+ax²+2x在[0，2]上既有極大值又有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． （-6，0）
• B． $（{-6，-\sqrt{6}}）$
• C． （-3.5，0）
• D． （-3.5，$\sqrt{6}$）

Answer 1

分析 把要求的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)數(shù)在區(qū)間[0，2]內(nèi)必有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)解出即可．

解答 解：由函數(shù)f（x）=x³+ax²+2x，得f′（x）=3x²+2ax+2．
∵函數(shù)f（x）=x³-ax²+3ax+1在[0，2]上，既有極大也有極小值，
∴f′（x）=0在[0，2]上應(yīng)有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根．
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（0）=2＞0}\\{f′（2）=14+4a＞0}\\{0＜-\frac{a}{3}＜2}\\{f′（-\frac{a}{3}）＜0}\end{array}\right.$，解得-3.5＜a＜$\sqrt{6}$．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是-3.5＜a＜$\sqrt{6}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 熟練掌握函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．