【題目】如圖所示，在直三棱柱中，，，，，點在線段上.

（1）若，求異面直線和所成角的余弦值；

（2）若直線與平面所成角為，試確定點的位置.

【答案】（1）（2）點M是線段的中點.

【解析】

（1）以為坐標原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，得到，，再代入向量夾角公式計算，即可得答案；

（2）設(shè)，得，直線與平面所成角為，得到關(guān)于的方程，解方程即可得到點的位置.

以為坐標原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，.

（1）因為，所以.

所以，.

所以.

所以異面直線和所成角的余弦值為.

（2）由，，，

知，.

設(shè)平面的法向量為，由得，

令，則，，所以平面的一個法向量為.

因為點在線段上，所以可設(shè)，所以，

因為直線與平面所成角為，所以.

由，得，

解得或.

因為點在線段上，所以，

即點是線段的中點.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】2019年，河南省鄭州市的房價依舊是鄭州市民關(guān)心的話題．總體來說，二手房房價有所下降，相比二手房而言，新房市場依然強勁，價格持續(xù)升高．已知銷售人員主要靠售房提成領(lǐng)取工資．現(xiàn)統(tǒng)計鄭州市某新房銷售人員一年的工資情況的結(jié)果如圖所示，若近幾年來該銷售人員每年的工資總體情況基本穩(wěn)定，則下列說法正確的是（ ）

A.月工資增長率最高的為8月份

B.該銷售人員一年有6個月的工資超過4000元

C.由此圖可以估計，該銷售人員2020年6，7，8月的平均工資將會超過5000元

D.該銷售人員這一年中的最低月工資為1900元

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【題目】如圖，在四邊形中，，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且.

（1）證明：平面；

（2）若為的中點，二面角等于60°，求直線與平面所成角的正弦值.

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【題目】某校周五的課程表設(shè)計中，要求安排8節(jié)課（上午4節(jié)下午4節(jié)），分別安排語文數(shù)學(xué)英語物理化學(xué)生物政治歷史各一節(jié)，其中生物只能安排在第一節(jié)或最后一節(jié)，數(shù)學(xué)和英語在安排時必須相鄰（注：上午的最后一節(jié)與下午的第一節(jié)不記作相鄰），則周五的課程順序的編排方法共有（ ）．

A.4800種B.2400種C.1200種D.240種

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【題目】如圖，一條東西流向的筆直河流，現(xiàn)利用航拍無人機監(jiān)控河流南岸相距150米的兩點處（在的正西方向），河流北岸的監(jiān)控中心在的正北方100米處，監(jiān)控控制車在的正西方向，且在通向的沿河路上運動，監(jiān)控過程中，保證監(jiān)控控制車到無人機和到監(jiān)控中心的距離之和150米，平面始終垂直于水平面，且，兩點間距離維持在100米.

（1）當監(jiān)控控制車到監(jiān)控中心的距離為100米時，求無人機距離水平面的距離；

（2）若記無人機看處的俯角（），監(jiān)控過程中，四棱錐內(nèi)部區(qū)域的體積為監(jiān)控影響區(qū)域，請將表示為關(guān)于的函數(shù)，并求出監(jiān)控影響區(qū)域的最大值.

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【題目】設(shè)，函數(shù).

（Ⅰ）討論函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；

（Ⅱ）若函數(shù)的圖象在點處的切線與直線平行，且對任意，，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】如圖過拋物線的焦點的直線依次交拋物線及準線于點，若，且，則（ ）

A.2B.C.3D.6

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【題目】數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美寓意美好的曲線，曲線就是其中之一（如圖）．給出下列三個結(jié)論：

①曲線恰好經(jīng)過6個整點（即橫縱坐標均為整數(shù)的點）；

②曲線上存在到原點的距離超過的點；

③曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3．

其中，所有錯誤結(jié)論的序號是______．

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【題目】已知函數(shù)在點處的切線方程為．

（1）求，；

（2）函數(shù)圖像與軸負半軸的交點為，且在點處的切線方程為，函數(shù)，，求的最小值；

（3）關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根，，且，證明：．

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