【題目】如圖，在四邊形中，，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.

（1）證明：平面；

（2）若為的中點(diǎn)，二面角等于60°，求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理即可證明；

（2）由題意知，，取的中點(diǎn)，連接，易知兩兩垂直，以為原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)，平面的一個(gè)法向量為，求出向量，則向量所成角的余弦值的絕對(duì)值即為所求.

（1）證明：因?yàn)?/span>，

所以平面，

又因?yàn)?/span>平面，所以.

又因?yàn)?/span>，

所以平面.

（2）因?yàn)?/span>，

所以是二面角的平面角，即，

在中，，

取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>,

所以,由（1）知，平面，為的中位線，

所以，即兩兩垂直，

以為原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)，則

，

，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則由得令，得，

所以，

所以直線與平面所成角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知函數(shù) .

（1）若在 處導(dǎo)數(shù)相等，證明： ；

（2）若對(duì)于任意 ，直線 與曲線都有唯一公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時(shí)間內(nèi)沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志是“連續(xù)10日，每天新增疑似病例不超過(guò)7人”.已知過(guò)去10日，、、三地新增疑似病例數(shù)據(jù)信息如下：

地：總體平均數(shù)為3，中位數(shù)為4；

地：總體平均數(shù)為2，總體方差為3；

地：總體平均數(shù)為1，總體方差大于0；

則、、三地中，一定沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的是__________地.

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【題目】已知為橢圓上的一點(diǎn)，F為橢圓的右焦點(diǎn)，且垂直于x軸，不過(guò)原點(diǎn)O的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)M在直線上.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)的面積最大時(shí)，求直線的方程.

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【題目】平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，且）.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，Q為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求的中點(diǎn)M到曲線的距離的最大值.

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【題目】如圖，三棱柱的底面是等邊三角形，在底面ABC上的射影為的重心G.

（1）已知，證明：平面平面；

（2）若三棱柱的側(cè)棱與底面所成角的正切值為，，求點(diǎn)到平面的距離.

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【題目】以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.已知圓和圓的極坐標(biāo)方程分別是和.

（1）求圓和圓的公共弦所在直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若射線：與圓的交點(diǎn)為O、P，與圓的交點(diǎn)為O、Q，求的最大值.

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【題目】如圖所示，在直三棱柱中，，，，，點(diǎn)在線段上.

（1）若，求異面直線和所成角的余弦值；

（2）若直線與平面所成角為，試確定點(diǎn)的位置.

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【題目】已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為高為其內(nèi)切球與面切于點(diǎn)，球面上與距離最近的點(diǎn)記為，若平面過(guò)點(diǎn)，且與平行，則平面截該正四棱錐所得截面的面積為______.

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