Question

11．已知向量$\overrightarrow a$=（sinx，cosx），$\overrightarrow b$=（1，1）．
（1）當$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$時，求tanx的值；
（2）若f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$＞m對一切x∈R恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用兩個向量平行的性質(zhì)可得sinx=cosx，從而求得tanx的值．
（2）兩個向量的數(shù)量積公式、兩角和的正弦公式化簡f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的最小值，可得m的范圍．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow a$=（sinx，cosx），$\overrightarrow b$=（1，1），
當$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$時，有sinx=cosx，
∴tanx=$\frac{sinx}{cosx}$=1．
（2）若f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）＞m對一切x∈R恒成立，
而$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$） 的最小值為-$\sqrt{2}$，
∴-$\sqrt{2}$＞m，
即m＜-$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查兩個向量平行的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積公式，兩角和的正弦公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，正弦函數(shù)的最值，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．