Question

18．（1）已知橢圓的焦距是8，離心率等于0.8，求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求與雙曲線$\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{3}=1$有共同的漸近線，且經(jīng)過點M（3，-2）的雙曲線的方程．

Answer 1

分析 （1）焦距是8，即2c=8，那么c=4，離心率等于0.8，即e=$\frac{c}{a}$，解得a=5，根據(jù)橢圓的性質(zhì)直接求解b．因為題沒有明確焦點在哪一個軸上，所以由兩個方程．
（2）有共同的漸近線，說明a，b與已知雙曲線的a，b是相同倍數(shù)關(guān)系，設(shè)求的方程，將M（3，-2）帶入雙曲線的方程．即可得到雙曲線的方程．

解答 解：由題意：焦距是8，即2c=8，那么c=4，離心率等于0.8，即e=$\frac{c}{a}$，解得a=5
∵$b=\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$，
∴b=3
所以：該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$或$\frac{y^2}{25}+\frac{x^2}{9}=1$．
（2）由題意：與雙曲線$\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{3}=1$有共同的漸近線，設(shè)雙曲線的方程為$\frac{y^2}{4m}-\frac{x^2}{3m}=1$，曲線經(jīng)過點M（3，-2），帶入解得：解得m=-2．
所以：該雙曲線的方程為$\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{8}=1$．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法．屬于基礎(chǔ)題．