Question

1．已知某商品的進(jìn)貨單價(jià)為1元/件，商戶(hù)甲往年以單價(jià)2元/件銷(xiāo)售該商品時(shí)，年銷(xiāo)量為1萬(wàn)件，今年擬下調(diào)銷(xiāo)售單價(jià)以提高銷(xiāo)量增加收益．據(jù)估算，若今年的實(shí)際銷(xiāo)售單價(jià)為x元/件（1≤x≤2），則新增的年銷(xiāo)量P=4（2-x）²（萬(wàn)件）．
（1）寫(xiě)出今年商戶(hù)甲的收益f（x）（單位：萬(wàn)元）與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）商戶(hù)甲今年采取降低單價(jià)提高銷(xiāo)量的營(yíng)銷(xiāo)策略，是否能獲得比往年更大的收益（即比往年收益更多）？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：f（x）=[1+4（2-x）²]（x-1），1≤x≤2．
（2）甲往年以單價(jià)2元/件銷(xiāo)售該商品時(shí)，年銷(xiāo)量為1萬(wàn)件，可得收益為1萬(wàn)元．f′（x）=（2x-3）（6x-11），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意可得：f（x）=[1+4（2-x）²]（x-1），1≤x≤2．
（2）甲往年以單價(jià)2元/件銷(xiāo)售該商品時(shí)，年銷(xiāo)量為1萬(wàn)件，可得收益為1萬(wàn)元．
f′（x）=8（x-2）（x-1）+1+4（2-x）²=12x²-40x+33=（2x-3）（6x-11），
可得當(dāng)x∈$[1，\frac{3}{2}）$時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈$（\frac{3}{2}，\frac{11}{6}）$時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈$（\frac{11}{6}，2]$時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
∴x=$\frac{3}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，$f（\frac{3}{2}）$=1；又f（2）=1．
∴當(dāng)x=$\frac{3}{2}$或x=2時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值1（萬(wàn)元）．
因此商戶(hù)甲今年采取降低單價(jià)提高銷(xiāo)量的營(yíng)銷(xiāo)策略，不能獲得比往年更大的收益．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值及其實(shí)際應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．