Question

17．如圖所示的多面體是由一個直平行六面體被平面AEFG所截后得到的，其中∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面ADG；
（Ⅱ）求直線GB與平面AEFG所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明：AD⊥DB，GD⊥DB，即可證明BD⊥平面ADG；
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，利用向量方法求直線GB與平面AEFG所成角的正弦值．

解答 （Ⅰ）證明：在△BAD中，∵AB=2AD=2，∠BAD=60°．
由余弦定理BD²=AD²+AB²-2AB•ADcos60°，$BD=\sqrt{3}$，
∵AB²=AD²+DB²，
∴AD⊥DB，
在直平行六面體中，GD⊥平面ABCD，DB?平面ABCD，∴GD⊥DB，
又AD∩GD=D，
∴BD⊥平面ADG．
（Ⅱ）解：如圖以D為原點建立空間直角坐標系D-xyz，
∵∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，
∴A（1，0，0），$B（0，\sqrt{3}，0）$，$E（0，\sqrt{3}，2）$，G（0，0，1），$\overrightarrow{AE}=（-1，\sqrt{3}，2）$，$\overrightarrow{AG}=（-1，0，1）$，$\overrightarrow{GB}=（0，\sqrt{3}，-1）$，
設平面AEFG的法向量$\overrightarrow n=（x，y，z）$，$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{AE}=-x+\sqrt{3}y+2z=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{AG}=-x+z=0\end{array}\right.$令x=1，得$y=\frac{{-\sqrt{3}}}{3}$，z=1，
∴$\overrightarrow n=（1，-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，1）$，
設直線GB和平面AEFG的夾角為θ，
∴$sinθ=|cos＜\overrightarrow{GB}，\overrightarrow n＞|=|\frac{{\overrightarrow{GB}•\overrightarrow n}}{{|\overrightarrow{GB}|•|\overrightarrow n|}}|=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，
所以直線GB與平面AEFG所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．

點評 本題考查直線與平面垂直，考查直線GB與平面AEFG所成的角的求法，考查向量方法的運用，屬于中檔題．