Question

8．若曲線C₁：x²+y²-2x=0與曲線C₂：mx²-xy+mx=0有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）
• B． （-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）∪（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）
• C． （-∞，0）∪（0，+∞）
• D． （-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）∪（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，分析可得曲線C₂表示兩條直線：x=0，y=m（x+1），曲線C₁為圓心（1，0），半徑為1的圓；分m=0與m≠0兩種情況，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行討論，求出m的取值范圍，綜合即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，曲線C₂：mx²-xy+mx=0，即x（mx-y+m）=0，
則曲線C₂表示兩條直線：x=0，y=m（x+1），
曲線C₁：x²+y²-2x=0，即（x-1）²+y²=1，為圓心（1，0），半徑為1的圓；
當(dāng)m=0時(shí)，曲線C₂表示兩條直線：x=0與y=0，與曲線C₁：只有2個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，
當(dāng)m≠0時(shí)，
直線x=0與曲線C₁只有一個(gè)交點(diǎn)，
則直線y=m（x+1）與曲線C₁：x²+y²-2x=0有2個(gè)交點(diǎn)，即直線y=m（x+1）與圓（x-1）²+y²=1相交，
則有$\frac{|2m|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$＜1，
解可得：-$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜m＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，且m≠0；
綜合可得：m的取值范圍是（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）∪（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）；
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，注意分析曲線C₂：mx²-xy+mx=0的形式．