Question

12．已知函數(shù)f（x）=ae^x-2x-2a，且a∈[1，2]，設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，ln2]上的最小值為m，則m的取值范圍是（　�。�

• A． [-2，-2ln2]
• B． [-2，-$\frac{1}{e}$]
• C． [-2ln2，-1]
• D． [-1，-$\frac{1}{e}$]

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（a），根據(jù)a的范圍，求出f（x）的最大值，設(shè)為M（x），求出M（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)g（a）=（e^x-2）a-2x是關(guān)于a的一次函數(shù)，
∵x∈[0，ln2]，∴e^x-2＜0，即y=g（a）是減函數(shù)，
∵a∈[1，2]，∴f（x）_min=2（e^x-2）-2x，設(shè)M（x）=2（e^x-2）-2x，
則M′（x）=2e^x-2，∵x∈[0，ln2]，
∴M′（x）≥0，則M（x）在[0，ln2]上遞增，
∴M（x）_min=M（0）=2，M（x）_max=M（ln2）=-2ln2，
m的取值范圍是[-2，-2ln2]，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了轉(zhuǎn)化能力與計(jì)算能力，屬于難題．