Question

11．已知△ABC的頂點(diǎn)A（5，1），AB邊上的中線CM所在的直線方程為2x-y-5=0，AC邊上的高BH所在直線的方程為x-2y-5=0．
（1）求直線BC的方程；
（2）求直線BC關(guān)于CM的對(duì)稱直線方程．

Answer 1

分析 （1）由已知得直線AC的方程為：2x+y-11=0．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-11=0}\\{2x-y-5=0}\end{array}\right.$，解得C坐標(biāo)．設(shè)B（a，b），則M$（\frac{a+5}{2}，\frac{b+1}{2}）$．M在直線2x-y-5=0上，可得：$2×\frac{a+5}{2}$-$\frac{b+1}{2}$-5=0，化為：2a-b-1=0．B在直線x-2y-5=0上，可得：a-2b-5=0．聯(lián)立聯(lián)立解得B坐標(biāo)．可得直線BC的方程．
（2）點(diǎn)B關(guān)于直線CM對(duì)稱的點(diǎn)B（x，y）在所求的直線上，由$\left\{\begin{array}{l}{2×\frac{x-1}{2}-\frac{y-3}{2}-5=0}\\{\frac{y+3}{x+1}×2=-1}\end{array}\right.$，解得B即可得出所求直線方程．

解答 解：（1）由已知得直線AC的方程為：2x+y-11=0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-11=0}\\{2x-y-5=0}\end{array}\right.$，解得C（4，3）．
設(shè)B（a，b），則M$（\frac{a+5}{2}，\frac{b+1}{2}）$．
M在直線2x-y-5=0上，可得：$2×\frac{a+5}{2}$-$\frac{b+1}{2}$-5=0，化為：2a-b-1=0．
B在直線x-2y-5=0上，可得：a-2b-5=0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2a-b-1=0}\\{a-2b-5=0}\end{array}\right.$，解得a=-1，b=-3，B（-1，-3）．
于是直線BC的方程為：6x-5y-9=0．
（2）點(diǎn)B關(guān)于直線CM對(duì)稱的點(diǎn)B（x，y）在所求的直線上，
由$\left\{\begin{array}{l}{2×\frac{x-1}{2}-\frac{y-3}{2}-5=0}\\{\frac{y+3}{x+1}×2=-1}\end{array}\right.$，B$（\frac{11}{5}，-\frac{23}{5}）$．
∴直線BC關(guān)于CM的對(duì)稱直線方程為38x-9y-125=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線垂直與斜率之間的關(guān)系、直線相交與方程組的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．