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8.設(shè)函數(shù)f(x)=x2-aln(x+2),g(x)=xex,且f(x)存在兩個極值點x1、x2,其中x1<x2
(1)求實數(shù)a的取值范圍;
(2)求g(x1-x2)的最小值;
(3)證明不等式:f(x1)+x2>0.

分析 (1)f(x)存在兩個極值點,等價于其導函數(shù)有兩個相異零點;
(2)先找出(x1-x2)的取值范圍,再利用g(x)的導函數(shù)可找出最小值;
(3)適當構(gòu)造函數(shù),并注意x1與x2的關(guān)系,轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最大值問題,證明相關(guān)不等式.

解答 (1)解:由題:f′(x)=2x-ax+2(x>-2).
∵f(x)存在兩個極值點x1、x2,其中x1<x2
∴關(guān)于x的方程2x-ax+2=0,即2x2+4x-a=0在(-2,+∞)內(nèi)有不等實根 
令S(x)=2x2+4x(x>-2),T(x)=a,
則-2<a<0,
∴實數(shù)a的取值范圍是(-2,0);
(2)解:由(1)可知{x1+x2=22x11
∴g(x)=xex得g(x)=(x+1)ex
∴當x∈(-2,-1)時,g′(x)<0,即g(x)在(-2,-1)單調(diào)遞減;當x∈(-1,0)時,g′(x)>0,即g(x)在(-1,0)單調(diào)遞增
∴g(x1-x2min=g(-1)=-1e
(3)證明:由(1)知{a=2x1x2x1=2x21x20,
fx1x2=x12alnx1+2x2=x2+4x22x2+2lnx2+4 
令-x2=x,則0<x<1且fx1x2=x4x+2x2lnx+4 
F(x)=-x-4x2x2lnx+40x1   
F′(x)=-1+4x2+2lnx+2x2x=4x24x+2lnx+1(0<x<1)
∴G(x)=4x24x+2lnx+1(0<x<1)
G′(x)=-8x3+4x2+2x=2x2+2x4x3
∵0<x<1,
∴G′(x)=-8x3+4x2+2x=2x2+2x4x3
∵0<x<1,∴G′(x)<0,即F′(x)在(0,1)上是減函數(shù).
∴F′(x)>F′(1)>0,
∴F(x)在(0,1)上是增函數(shù)
∴F(x)<F(1)=-1,即fx1x21,即f(x1)+x2>0.

點評 本題考查導函數(shù),函數(shù)的單調(diào)性,最值,不等式證明,考查學生分析解決問題的能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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18.下列命題中,正確的命題個數(shù)是( �。�
①用相關(guān)系數(shù)r來判斷兩個變量的相關(guān)性時,r越接近0,說明兩個變量有較強的相關(guān)性;
②將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上同一個非零常數(shù)后,期望改變,方差不變;
③某廠生產(chǎn)的零件外直徑x~N(3,1),且p(2≤x≤4)=0.68,則p(x<4)=0.84
④用數(shù)學歸納法證明不等式1n+1+1n+2+…+12n1314(n≥2,n∈{N*)的過程中,由n=k遞推到n=k+1時不等式的左邊增加項為12k+1-12k+2
A.1個B.2個C.3個D.4個

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(1)求f(x0),并求出f(x)在(0,+∞)上的極值;
(2)設(shè)在區(qū)間(0,1)上,方程f(x)=k的實數(shù)解為x1,g(x)=k的實數(shù)解為x2,比較x2與x1的大�。�

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16.如圖,△CDE所在的平面與正方形ABCD所在的平面相交于CD,且AE⊥平面ABCD,AB=2AE=2.
(1)求證:平面ABCD⊥平面ADE
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3.已知函數(shù)f(x)=logax+1x1(a>0且a≠1).
(I) 求函數(shù)的定義域,并證明:f(x)=logax+1x1(a>0且a≠1)在定義域上是奇函數(shù);
(Ⅱ)對于x∈[2,4],logax+1x1>logamx17x恒成立,求m的取值范圍.

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13.若a,b,c為實數(shù),則下列命題錯誤的是( �。�
A.若ac2>bc2,則a>bB.若a<b<0,則a2<b2
C.若a>b>0,則1a1D.若a<b<0,c>d>0,則ac<bd

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20.若a,b,c為實數(shù),下列結(jié)論正確的是( �。�
A.若a>b,c>d,則ac>bdB.若a<b<0,則a2>ab>b2
C.若a<b<0,則1a1D.若a<b<0,則aa

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17.將7個人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排,若甲不能在排頭,乙不能在排尾,丙、丁兩人必須相鄰,則不同的排法共有( �。�
A.1108種B.1008種C.960種D.504種

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18.已知f(x)=x2,g(x)=-log3x-m,若存在x1∈[-1,3],x2∈[1,3],使得f(x1)≥g(x2)成立,則實數(shù)m的取值范圍是[-10+∞).

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