分析 (1)f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn),等價(jià)于其導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)相異零點(diǎn);
(2)先找出(x1-x2)的取值范圍,再利用g(x)的導(dǎo)函數(shù)可找出最小值;
(3)適當(dāng)構(gòu)造函數(shù),并注意x1與x2的關(guān)系,轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最大值問(wèn)題,證明相關(guān)不等式.
解答 (1)解:由題:f′(x)=2x-ax+2(x>-2).
∵f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2,其中x1<x2
∴關(guān)于x的方程2x-ax+2=0,即2x2+4x-a=0在(-2,+∞)內(nèi)有不等實(shí)根
令S(x)=2x2+4x(x>-2),T(x)=a,
則-2<a<0,
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-2,0);
(2)解:由(1)可知{x1+x2=−2−2<x1<−1
∴g(x)=xex得g(x)=(x+1)ex
∴當(dāng)x∈(-2,-1)時(shí),g′(x)<0,即g(x)在(-2,-1)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),g′(x)>0,即g(x)在(-1,0)單調(diào)遞增
∴g(x1-x2)min=g(-1)=-1e
(3)證明:由(1)知{a=−2x1x2x1=−2−x2−1<x2<0,
∴f(x1)x2=x12−aln(x1+2)x2=x2+4x2−2(x2+2)ln(−x2)+4
令-x2=x,則0<x<1且f(x1)x2=x−4x+2(x−2)lnx+4
F(x)=-x-4x−2(x−2)lnx+4(0<x<1)
F′(x)=-1+4x2+2lnx+2(x−2)x=4x2−4x+2lnx+1(0<x<1)
∴G(x)=4x2−4x+2lnx+1(0<x<1)
G′(x)=-8x3+4x2+2x=2(x2+2x−4)x3
∵0<x<1,
∴G′(x)=-−8x3+4x2+2x=2(x2+2x−4)x3
∵0<x<1,∴G′(x)<0,即F′(x)在(0,1)上是減函數(shù).
∴F′(x)>F′(1)>0,
∴F(x)在(0,1)上是增函數(shù)
∴F(x)<F(1)=-1,即f(x1)x2<−1,即f(x1)+x2>0.
點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)函數(shù),函數(shù)的單調(diào)性,最值,不等式證明,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.
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A. | 1個(gè) | B. | 2個(gè) | C. | 3個(gè) | D. | 4個(gè) |
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A. | 若ac2>bc2,則a>b | B. | 若a<b<0,則a2<b2 | ||
C. | 若a>b>0,則1a<1 | D. | 若a<b<0,c>d>0,則ac<bd |
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A. | 若a>b,c>d,則ac>bd | B. | 若a<b<0,則a2>ab>b2 | ||
C. | 若a<b<0,則1a<1 | D. | 若a<b<0,則a>a |
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A. | 1108種 | B. | 1008種 | C. | 960種 | D. | 504種 |
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