Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
8.設(shè)函數(shù)f(x)=x2-aln(x+2),g(x)=xex,且f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2,其中x1<x2
(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)求g(x1-x2)的最小值;
(3)證明不等式:f(x1)+x2>0.

分析 (1)f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn),等價(jià)于其導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)相異零點(diǎn);
(2)先找出(x1-x2)的取值范圍,再利用g(x)的導(dǎo)函數(shù)可找出最小值;
(3)適當(dāng)構(gòu)造函數(shù),并注意x1與x2的關(guān)系,轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最大值問(wèn)題,證明相關(guān)不等式.

解答 (1)解:由題:f′(x)=2x-ax+2(x>-2).
∵f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2,其中x1<x2
∴關(guān)于x的方程2x-ax+2=0,即2x2+4x-a=0在(-2,+∞)內(nèi)有不等實(shí)根 
令S(x)=2x2+4x(x>-2),T(x)=a,
則-2<a<0,
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-2,0);
(2)解:由(1)可知{x1+x2=22x11
∴g(x)=xex得g(x)=(x+1)ex
∴當(dāng)x∈(-2,-1)時(shí),g′(x)<0,即g(x)在(-2,-1)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),g′(x)>0,即g(x)在(-1,0)單調(diào)遞增
∴g(x1-x2min=g(-1)=-1e
(3)證明:由(1)知{a=2x1x2x1=2x21x20,
fx1x2=x12alnx1+2x2=x2+4x22x2+2lnx2+4 
令-x2=x,則0<x<1且fx1x2=x4x+2x2lnx+4 
F(x)=-x-4x2x2lnx+40x1   
F′(x)=-1+4x2+2lnx+2x2x=4x24x+2lnx+1(0<x<1)
∴G(x)=4x24x+2lnx+1(0<x<1)
G′(x)=-8x3+4x2+2x=2x2+2x4x3
∵0<x<1,
∴G′(x)=-8x3+4x2+2x=2x2+2x4x3
∵0<x<1,∴G′(x)<0,即F′(x)在(0,1)上是減函數(shù).
∴F′(x)>F′(1)>0,
∴F(x)在(0,1)上是增函數(shù)
∴F(x)<F(1)=-1,即fx1x21,即f(x1)+x2>0.

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)函數(shù),函數(shù)的單調(diào)性,最值,不等式證明,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

18.下列命題中,正確的命題個(gè)數(shù)是( �。�
①用相關(guān)系數(shù)r來(lái)判斷兩個(gè)變量的相關(guān)性時(shí),r越接近0,說(shuō)明兩個(gè)變量有較強(qiáng)的相關(guān)性;
②將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)非零常數(shù)后,期望改變,方差不變;
③某廠生產(chǎn)的零件外直徑x~N(3,1),且p(2≤x≤4)=0.68,則p(x<4)=0.84
④用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1n+1+1n+2+…+12n1314(n≥2,n∈{N*)的過(guò)程中,由n=k遞推到n=k+1時(shí)不等式的左邊增加項(xiàng)為12k+1-12k+2
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

19.設(shè)曲線C:y=alnx(a≠0)在點(diǎn)T(x0,alnx0)處的切線與x軸交于點(diǎn)A(f(x0),0),函數(shù)g(x)=2x1+x
(1)求f(x0),并求出f(x)在(0,+∞)上的極值;
(2)設(shè)在區(qū)間(0,1)上,方程f(x)=k的實(shí)數(shù)解為x1,g(x)=k的實(shí)數(shù)解為x2,比較x2與x1的大�。�

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

16.如圖,△CDE所在的平面與正方形ABCD所在的平面相交于CD,且AE⊥平面ABCD,AB=2AE=2.
(1)求證:平面ABCD⊥平面ADE
(2)設(shè)點(diǎn)F是棱BC的中點(diǎn),求直線DF與平面CDE所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

3.已知函數(shù)f(x)=logax+1x1(a>0且a≠1).
(I) 求函數(shù)的定義域,并證明:f(x)=logax+1x1(a>0且a≠1)在定義域上是奇函數(shù);
(Ⅱ)對(duì)于x∈[2,4],logax+1x1>logamx17x恒成立,求m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

13.若a,b,c為實(shí)數(shù),則下列命題錯(cuò)誤的是( �。�
A.若ac2>bc2,則a>bB.若a<b<0,則a2<b2
C.若a>b>0,則1a1D.若a<b<0,c>d>0,則ac<bd

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

20.若a,b,c為實(shí)數(shù),下列結(jié)論正確的是( �。�
A.若a>b,c>d,則ac>bdB.若a<b<0,則a2>ab>b2
C.若a<b<0,則1a1D.若a<b<0,則aa

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

17.將7個(gè)人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排,若甲不能在排頭,乙不能在排尾,丙、丁兩人必須相鄰,則不同的排法共有(  )
A.1108種B.1008種C.960種D.504種

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

18.已知f(x)=x2,g(x)=-log3x-m,若存在x1∈[-1,3],x2∈[1,3],使得f(x1)≥g(x2)成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-10+∞).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案