Question

如圖1，四棱錐中，底面，面是直角梯形，為側(cè)棱上一點(diǎn)．該四棱錐的俯視圖和側(cè)（左）視圖如圖2所示．   
（Ⅰ）證明：平面；
（Ⅱ）證明：∥平面；
（Ⅲ）線段上是否存在點(diǎn)，使與所成角的余弦值為？若存在，找到所有符合要求的點(diǎn)，并求的長(zhǎng)；若不存在，說明理由．

Answer 1

(I)詳見解析；（II）詳見解析；（III）點(diǎn)位于點(diǎn)處，此時(shí)；或中點(diǎn)處，此時(shí).

試題分析：(I)建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，線和面內(nèi)兩相交直線垂直，則線垂直面；(II)線與面內(nèi)一直線平行，則線面平行；(III)利用數(shù)量積公式可得兩直線夾角余弦.
試題解析：【方法一】
（Ⅰ）證明：由俯視圖可得，，

所以．          1分
又因?yàn)?平面，
所以 ，         3分
所以 平面．                                         4分
（Ⅱ）證明：取上一點(diǎn)，使，連結(jié)，．       5分
由左視圖知 ，所以 ∥，．      6分
在△中，易得，所以 ．又 ， 所以， ．
又因?yàn)?∥，，所以 ∥，．
所以四邊形為平行四邊形，所以 ∥．               8分
因?yàn)?平面，平面，
所以 直線∥平面．                                     9分
（Ⅲ）解：線段上存在點(diǎn)，使與所成角的余弦值為．證明如下：10分
因?yàn)?平面，，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
所以 ．
設(shè) ，其中．                                    11分
所以，．
要使與所成角的余弦值為，則有 ，   12分
所以 ，解得 或，均適合．  13分
故點(diǎn)位于點(diǎn)處，此時(shí)；或中點(diǎn)處，此時(shí)，有與所成角的余弦值為．                                                        14分
【方法二】

（Ⅰ）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824020754132388.png" style="vertical-align:middle;" />平面，，建立如圖所示
的空間直角坐標(biāo)系．
在△中，易得，所以 ，
因?yàn)?， 所以， ．
由俯視圖和左視圖可得：
．
所以 ，．
因?yàn)?，所以．         2分
又因?yàn)?平面，所以 ，                     3分
所以 平面．                                         4分
（Ⅱ）證明：設(shè)平面的法向量為，則有
因?yàn)?，，
所以   取，得．                6分           
因?yàn)?，
所以 ．                        8分
因?yàn)?平面，
所以 直線∥平面．                                     9分
（Ⅲ）解：線段上存在點(diǎn)，使與所成角的余弦值為．證明如下：10分
設(shè) ，其中．                                    11分
所以 ，．
要使與所成角的余弦值為，則有 ，  12分
所以 ，解得或，均適合．   13分
故點(diǎn)位于點(diǎn)處，此時(shí)；或中點(diǎn)處，此時(shí)，有與所成角的余弦值為．                                                        14分