Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx+1}{{e}^{x}}$（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），h（x）=1-x-xlnx．
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線方程；
（2）求h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)g（x）=xf′（x），其中f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，證明：對(duì)任意x＞0，g（x）＜1+e^-2．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，即可得到所求切線的方程；
（2）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，求h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）g（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$（1-x-xlnx），x∈（0，+∞）．由h（x）=1-x-xlnx，確定當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，h（x）≤h（e^-2）=1+e^-2．當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，0＜$\frac{1}{{e}^{x}}$＜1，即可證明結(jié)論．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{lnx+1}{{e}^{x}}$的導(dǎo)數(shù)為$\frac{\frac{1}{x}{e}^{x}-（lnx+1）{e}^{x}}{{e}^{2x}}$=$\frac{1-x-xlnx}{x{e}^{x}}$，
可得曲線y=f（x）在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線斜率為0，
切點(diǎn)為（1，$\frac{1}{e}$），可得曲線y=f（x）在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線方程為y=$\frac{1}{e}$；
（2）h（x）=1-x-xlnx求導(dǎo)數(shù)得h′（x）=-1-（1+lnx），x∈（0，+∞），
令h′（x）=-2-lnx=0，x∈（0，+∞），可得x=e^-2，
當(dāng)x∈（0，e^-2）時(shí)，h′（x）＞0；當(dāng)x∈（e^-2，+∞）時(shí)，h′（x）＜0．
因此h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，e^-2），單調(diào)遞減區(qū)間為（e^-2，+∞）；
（2）證明：因?yàn)間（x）=xf′（x）．
所以g（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$（1-x-xlnx），x∈（0，+∞）．
由h（x）=1-x-xlnx，
求導(dǎo)得h′（x）=-lnx-2=-（lnx-lne^-2），
所以當(dāng)x∈（0，e^-2）時(shí)，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（e^-2，+∞）時(shí)，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減．
所以當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，h（x）≤h（e^-2）=1+e^-2．
又當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，0＜$\frac{1}{{e}^{x}}$＜1，
所以當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，$\frac{1}{{e}^{x}}$h（x）＜1+e^-2，即g（x）＜1+e^-2．
綜上所述，對(duì)任意x＞0，g（x）＜1+e^-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線方程和函數(shù)的單調(diào)性與最值，解題的關(guān)鍵是靈活利用導(dǎo)數(shù)工具進(jìn)行運(yùn)算及理解導(dǎo)數(shù)與要解決問題的聯(lián)系，此類題運(yùn)算量大，易出錯(cuò)，且考查了轉(zhuǎn)化的思想，判斷推理的能力，綜合性強(qiáng)，是高考�？碱}型，學(xué)習(xí)時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真，注意總結(jié)其解題規(guī)律．