Question

18．（B組題）設(shè)定義在R上的奇函數(shù)y=f（x）滿足：對(duì)任意的x∈R，總有f（x-4）=f（x+4），且當(dāng)x∈（0，4）時(shí)，$f（x）={e^{x-\frac{π}{2}}}+|{cosx}|-2$．則函數(shù)f（x）在區(qū)間[-8，16）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（　　）

• A． 6
• B． 9
• C． 12
• D． 13

Answer 1

分析 作出y=e${\;}^{x-\frac{π}{2}}$和y=2-|cosx|的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象得出f（x）在（0，4）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知f（x）在一個(gè)周期內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn)，從而得出答案．

解答 解：∵f（x-4）=f（x+4），∴f（x）的周期為8，
令e${\;}^{x-\frac{π}{2}}$+|cosx|-2=0可得e${\;}^{x-\frac{π}{2}}$=2-|cosx|，
作出y=e${\;}^{x-\frac{π}{2}}$和y=2-|cosx|的函數(shù)圖象如圖所示：

由圖象可知f（x）在（0，4）上有1個(gè)零點(diǎn)，
∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（x）在（-4，0）上有1個(gè)零點(diǎn)，
又f（0）=0，∴f（x）在（-4，4）上有3個(gè)零點(diǎn)，
∵f（x）在一個(gè)周期內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn)，
∴f（x）在[-8，16）上有9個(gè)零點(diǎn)．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，奇函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．