Question

3．劉老師是一位經(jīng)驗(yàn)豐富的高三理科班班主任，經(jīng)長(zhǎng)期研究，他發(fā)現(xiàn)高中理科班的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)（總分150分）與理綜成績(jī)（物理、化學(xué)與生物的綜合，總分300分）具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性，以下是劉老師隨機(jī)選取的八名學(xué)生在高考中的數(shù)學(xué)得分x與理綜得分y（如表）：

學(xué)生編號(hào)	1	2	3	4	5	6	7	8
數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)x	52	64	87	96	105	123	132	141
理綜分?jǐn)?shù)y	112	132	177	190	218	239	257	275

參考數(shù)據(jù)及公式：$\widehaty=a+bx，b=\frac{{{x_1}{y_1}+{x_2}{y_2}+…+{x_n}{y_n}-n\overline x\overline y}}{{x_1^2+x_2^2+…+x_n^2-n{{\overline x}^2}}}≈1.83，\overline x=100，\overline y=200$．
（1）求出y關(guān)于x的線性回歸方程；
（2）若小汪高考數(shù)學(xué)110分，請(qǐng)你預(yù)測(cè)他理綜得分約為多少分？（精確到整數(shù)位）；
（3）小金同學(xué)的文科一般，語(yǔ)文與英語(yǔ)一起能穩(wěn)定在215分左右．如果他的目標(biāo)是在高考總分沖擊600分，請(qǐng)你幫他估算他的數(shù)學(xué)與理綜大約分別至少需要拿到多少分？（精確到整數(shù)位）．

Answer 1

分析 （1）把$（\overline x，\overline y）$代入回歸方程求出回歸系數(shù)，寫出回歸方程；
（2）將x=110代入回歸方程計(jì)算$\stackrel{∧}{y}$的值即可；
（3）根據(jù)題意列出不等式215+x+$\stackrel{∧}{y}$≥600，結(jié)合回歸方程求出對(duì)應(yīng)x、$\stackrel{∧}{y}$的值．

解答 解：（1）將$（\overline x，\overline y）$代入回歸方程$\widehaty=a+1.83x$中，解得a=17，
∴回歸方程為$\widehaty=17+1.83x$；
（2）將x=110代入回歸方程中，計(jì)算
$\widehaty=17+1.83x=218.3≈218$，
預(yù)測(cè)他理綜得分約為218分；
（3）根據(jù)題意，215+x+$\stackrel{∧}{y}$≥600，
∴x+1.83x+17≥385，
解得x≥$\frac{368}{2.83}$≈130；
∴$\stackrel{∧}{y}$=17+1.83×130=254.9≈255，
故他的數(shù)學(xué)與理綜分別至少需要拿到130分與255分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性回歸方程的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．