Question

15．已知函數(shù)f（x）=lnx+a（1-x），a∈R．
（I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若對(duì)任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤2a-2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）求出f′（x）=$\frac{1}{x}-a=\frac{1-ax}{x}$（x＞0），由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（II）法一：①當(dāng)a≤0時(shí)，f（1）=0＞2a-2，從而不會(huì)有對(duì)任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤2a-2；當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上的最大值為f（$\frac{1}{a}$）=-lna+a-1，對(duì)任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤2a-2等價(jià)于lna+a-1≥0．設(shè)g（x）=lnx+x-1=lnx-（1-x），則g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，g（1）=0，由此能求出對(duì)任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤2a-2時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍．
法二：對(duì)任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤2a-2，等價(jià)于a≥$\frac{lnx+2}{x+1}$．令g（x）=$\frac{lnx+2}{x+1}$，則g′（x）=$\frac{\frac{1}{x}-lnx-1}{（x+1）^{2}}$，令h（x）=$\frac{1}{x}-lnx-1$，則${h}^{'}（x）=-\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{1}{x}$=$\frac{-（x+1）}{{x}^{2}}$，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出x∈（0，+∞），f（x）≤2a-2時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 （本題滿分9分）
解：（I）∵函數(shù)f（x）=lnx+a（1-x），a∈R．
∴f′（x）=$\frac{1}{x}-a=\frac{1-ax}{x}$（x＞0），…（1分）
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，則f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．…（2分）
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）＞0，得0＜x＜$\frac{1}{a}$．
則f（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{a}$）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（$\frac{1}{a}$，+∞）上單調(diào)遞減．…（4分）
（II）解法一：①當(dāng)a≤0時(shí)，因?yàn)閒（1）=0＞2a-2，
所以不會(huì)有對(duì)任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤2a-2．      …（5分）
②當(dāng)a＞0時(shí)，由（I）知，f（x）在（0，+∞）上的最大值為：
f（$\frac{1}{a}$）=ln（$\frac{1}{a}$）+a（1-$\frac{1}{a}$）=-lna+a-1．     …（6分）
所以對(duì)任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤2a-2等價(jià)于f（$\frac{1}{a}$）=-lna+a-1≤2a-2．
即lna+a-1≥0．  …（7分）
設(shè)g（x）=lnx+x-1=lnx-（1-x），由（I）知g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
又g（1）=ln1+1-1=0，所以lna+a-1≥0的解為a≥1．  …（8分）
故對(duì)任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤2a-2時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）．        …（9分）
解法二：對(duì)任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤2a-2，等價(jià)于a≥$\frac{lnx+2}{x+1}$．          …（5分）
令g（x）=$\frac{lnx+2}{x+1}$，則g′（x）=$\frac{\frac{1}{x}-lnx-1}{（x+1）^{2}}$． …（6分）
令h（x）=$\frac{1}{x}-lnx-1$，則${h}^{'}（x）=-\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{1}{x}$=$\frac{-（x+1）}{{x}^{2}}$．
因?yàn)楫?dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，h′（x）＜0恒成立，
所以h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．  …（7分）
又h（1）=1-ln1-1=0，可得g（x）和g′（x）在（0，+∞）上的情況如下：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	+	0	-
g（x）	單調(diào)遞增		單調(diào)遞減

所以g（x）在（0，+∞）上的最大值為g（1）=$\frac{ln1+2}{1+1}=1$．      …（8分）
因此x∈（0，+∞），a≥g（x）等價(jià)于a≥g（1）=1．
故x∈（0，+∞），f（x）≤2a-2時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）．      …（9分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、構(gòu)造法、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，考查創(chuàng)新意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)，是中檔題．