Question

11．若函數(shù)f（x）=e^x+ax² 無極值點(diǎn)，則a的取值范圍是$[-\frac{e}{2}，0]$．

Answer 1

分析 求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得e^x=-2ax至多一個實(shí)數(shù)解，設(shè)g（x）=e^x，h（x）=-2ax，求出y=g（x）的過原點(diǎn)的切線方程，可得切線的斜率，由題意可得a的不等式，即可得到a的范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=e^x+ax² 導(dǎo)數(shù)f′（x）=e^x+2ax，
令f′（x）=0，即e^x=-2ax，
設(shè)g（x）=e^x，h（x）=-2ax，
g′（x）=e^x，設(shè)切點(diǎn)為（m，e^m），
可得切線的斜率為e^m，
切線的方程為y-e^m=e^m（x-m），
易求過點(diǎn)（0，0）的曲線g（x）的切線斜率為e，切點(diǎn)為（1，e），
方程為y=ex，
因此，由題意可得，0≤-2a≤e，
故$-\frac{e}{2}≤a≤0$．
故答案為：$[-\frac{e}{2}，0]$．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求極值，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．