Question

7．已知函數(shù)$f（x）=\frac{mx+1}{{1+{x^2}}}$是R上的偶函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）判斷并證明函數(shù)y=f（x）在（-∞，0]上單調(diào)性；
（3）求函數(shù)y=f（x）在[-3，2]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性，求出m的值；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（3）根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）若函數(shù)$f（x）=\frac{mx+1}{{1+{x^2}}}$是R上的偶函數(shù)，則f（-x）=f（x），
即$\frac{m（-x）+1}{{1+{{（-x）}^2}}}=\frac{mx+1}{{1+{x^2}}}$，對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，解得m=0．
（2）由（1）得：$f（x）=\frac{1}{{1+{x^2}}}$，
函數(shù)y=f（x）在（-∞，0]上為增函數(shù)，下證明：
設(shè)任意x₁，x₂∈（-∞，0]且x₁＜x₂，即△x=x₂-x₁＞0
則$△y=f（{x_2}）-f（{x_1}）=\frac{1}{1+x_2^2}-\frac{1}{1+x_1^2}$=$\frac{x_1^2-x_2^2}{（1+x_1^2）（1+x_2^2）}=\frac{{-（{x_2}-{x_1}）（{x_2}+{x_1}）}}{（1+x_1^2）（1+x_2^2）}$
∵x₁，x₂∈（-∞，0]且△x=x₂-x₁＞0，
∴$\frac{{-（{x_2}-{x_1}）（{x_2}+{x_1}）}}{（1+x_1^2）（1+x_2^2）}＞0$，即△y＞0，
于是函數(shù)y=f（x）在（-∞，0]上為增函數(shù)．
（3）由（2）知，函數(shù)y=f（x）在（-∞，0]上為增函數(shù)，
又f（x）是偶函數(shù)，則y=f（x）在[0，+∞）上為減函數(shù)，
又$f（-3）=\frac{1}{10}$，f（0）=1，$f（2）=\frac{1}{5}$，
所以f（x）的最大值為1，最小值為$\frac{1}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類(lèi)討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．