Question

14．已知函數(shù)f（x）=ax^m+bx（a、b、m∈R，a≠0）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，在點(diǎn)x=1處的切線方程為y=2x-1，數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均為正值，且a₁=m，a₂=2m，且$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=f（$\frac{{a}_{{n}_{+1}}}{{a}_{n}}$）（n＞1），則a₆=（　�。�

• A． $\frac{1}{{2}^{10}}$
• B． $\frac{1}{{2}^{15}}$
• C． 2${\;}^{\frac{31}{16}}$
• D． 2${\;}^{\frac{47}{16}}$

Answer 1

分析 f′（x）=max^m-1+b，根據(jù)題意可得b=0，f′（1）=ma+b=2，f（1）=a+b=1，可得f（x）=x²．可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=f（$\frac{{a}_{{n}_{+1}}}{{a}_{n}}$）=$（\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}）^{2}$（n＞1），a_n＞0．即可得出．

解答 解：f′（x）=max^m-1+b，
∵函數(shù)f（x）=ax^m+bx（a、b、m∈R，a≠0）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，在點(diǎn)x=1處的切線方程為y=2x-1，
∴b=0，f′（1）=ma+b=2，f（1）=a+b=1，
解得b=0，a=1，m=2．
∴f（x）=x²．
∴a₁=m=2，a₂=2m=4，
且$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=f（$\frac{{a}_{{n}_{+1}}}{{a}_{n}}$）=$（\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}）^{2}$（n＞1），a_n＞0．
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=（\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}）^{2}$，解得a₃=4$\sqrt{2}$，同理可得：a₄=4$\root{4}{8}$，a₅=4$\root{8}{128}$，a₆=4$\root{16}{32768}$=${2}^{\frac{47}{16}}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)切線方程、方程的解法、函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．