Question

7．已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，AB=PC=2，$PA=PD=\sqrt{2}$．
（1）求證：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）求二面角A-PC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)面面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可．
（2）AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量利用向量法即可求二面角A-PC-B的余弦值．

解答 （Ⅰ）證明：取AD中點O，連結(jié)PO、CO，
∵PA=PD=$\sqrt{2}$，AB=2，∴△PAD為等腰直角三角形，
∴PO=1，PO⊥AD，
∵AB=BC=2，∠ABC=60°，∴△ABC為等邊三角形，
∴$CO=\sqrt{3}$，又PC=2，
∴PO²+CO²=PC²，∴PO⊥CO
又AB∩CO=O，AB?平面ABCD，CO?平面ABCD，
∴PO⊥平面ACD，又PO?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面ABCD．
（2）建立以O(shè)為坐標(biāo)原點，OC，OD，OP分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：
則A（0，-1，0），C（$\sqrt{3}$，0，0），P（0，0，1），B（$\sqrt{3}$，-2，0），
設(shè)平面APC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=\sqrt{3}x-z=0}\end{array}\right.$，令z=$\sqrt{3}$，則x=1，y=-$\sqrt{3}$．即$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）
設(shè)平面PCB的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BP}=-\sqrt{3}x+2y+z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=\sqrt{3}x-z=0}\end{array}\right.$，
令z=$\sqrt{3}$，則x=1，y=0，即$\overrightarrow{m}$=（1，0，$\sqrt{3}$）
cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
∵二面角A-PC-B的是銳二面角，
∴二面角A-PC-B的余弦值是$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

點評 本題主要考查空間面面垂直的判斷以及空間二面角的求解，建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法是解決二面角常用的方法．