Question

2．已知函數(shù)f（x）=x²+alnx．
（1）當a=-2e時，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）+$\frac{2}{x}$在[1，2]上是單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）a=-2e時，求出f′（x），利用x變化時，f'（x），f（x）的變化情況可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）問題轉(zhuǎn)化為a≥$\frac{2}{x}$-2x²在[1，2]恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
當a=-2e時，f′（x）=2x-$\frac{2e}{x}$=$\frac{2（x-\sqrt{e}）（x+\sqrt{e}）}{x}$，
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下：

x	（0，$\sqrt{e}$）	$\sqrt{e}$	（$\sqrt{e}$，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）		極小值

∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，$\sqrt{e}$）；單調(diào)遞增區(qū)間是（$\sqrt{e}$，+∞），
∴極小值是f（$\sqrt{e}$）=0，無極大值；
（2）g（x）=x²+alnx+$\frac{2}{x}$，x＞0，
g′（x）=2x+$\frac{a}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$，
∵函數(shù)g（x）在[1，2]上是單調(diào)增函數(shù)，
∴g′（x）≥0在[1，2]恒成立，
即a≥$\frac{2}{x}$-2x²在[1，2]恒成立，
令h（x）=$\frac{2}{x}$-2x²，h′（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}$-4x＜0在[1，2]恒成立，
∴h（x）在[1，2]單調(diào)遞減，
∴h（x）_max=h（1）=0，
∴a≥0．

點評 本題考查利用倒數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，著重考查函數(shù)在某點取得極值的條件，考查閉區(qū)間上的恒成立問題，突出轉(zhuǎn)化思想與構(gòu)造函數(shù)的思想的運用．