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15.如圖,已知長方形ABCD中,AB=22,AD=2,M為DC的中點(diǎn).將△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM.

( I)求證:AD⊥BM;
( II)若點(diǎn)E是線段DB上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)二面角E-AM-D的余弦值為22時(shí),求線段DE的長.

分析 (I)推導(dǎo)出AM⊥BM,從而BM⊥平面ADM,由此能證明AD⊥BM.
(II)以O(shè)為原點(diǎn),OA為x軸,在平面ABCD內(nèi)過O作OA的垂線為y軸,OD為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出線段DE的長.

解答 (本題滿分12分)
證明:(I)∵長方形ABCD中,AB=22,AD=2,M為CD的中點(diǎn),
AM=BM=2,
∴AM⊥BM,
{ADMABCMADMABCM=AMBM?ABCM
∴BM⊥平面ADM,
∵AD?平面ADM,∴AD⊥BM.
解:(II)以O(shè)為原點(diǎn),OA為x軸,在平面ABCD內(nèi)過O作OA的垂線為y軸,OD為z軸,
建立如圖所示的O-xyz直角坐標(biāo)系,
則A(1,0,0),B(-1,2,0),D(0,0,1),M(-1,0,0)
平面AMD的一個(gè)法向量n=010
設(shè)DE=λDB,ME=MD+λDB=1λ2λ1λAM=200,
設(shè)平面AME的一個(gè)法向量為m=xyz
{mAM=0mME=0,即{2x=02λy+1λz=0
取y=1,得x=0y=1z=2λ1λ,得m=012λ1λ,而n=010
∵二面角E-AM-D的余弦值為22,
cosmn=m¯n|m||n|=11+2λ1λ2=12,
1+2λ1λ2=2,解得λ=13
因?yàn)?|BD|=\sqrt{6}|DE|=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明,考查線段長的求法,是中檔題,注意向量法的合理運(yùn)用.

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分組[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100)[100,120)
頻率0.10.180.220.250.20.05
將每天準(zhǔn)備收看奧運(yùn)會(huì)直播的時(shí)間不低于80分鐘的觀眾稱為“奧運(yùn)迷”,已知“奧運(yùn)迷”中有10名40歲以上的觀眾.
(1)根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表,并據(jù)此資料你是否有95%以上的把握認(rèn)為“奧運(yùn)迷”與年齡有關(guān)?
非“奧運(yùn)迷”“奧運(yùn)迷”合計(jì)
40歲以下
40歲以上
合計(jì)
(2)將每天準(zhǔn)備收看奧運(yùn)會(huì)直播不低于100分鐘的觀眾稱為“超級(jí)奧運(yùn)迷”,已知“超級(jí)奧運(yùn)迷”中有2名40歲以上的觀眾,若從“超級(jí)奧運(yùn)迷”中任意選取2人,求至少有1名40歲以上的觀眾的概率.
附:K2=nadbc2a+ba+da+cb+d
P(K2≥k)0.050.01
k3.8416.635

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