分析 (I)推導(dǎo)出AM⊥BM,從而BM⊥平面ADM,由此能證明AD⊥BM.
(II)以O(shè)為原點(diǎn),OA為x軸,在平面ABCD內(nèi)過O作OA的垂線為y軸,OD為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出線段DE的長.
解答 (本題滿分12分)
證明:(I)∵長方形ABCD中,AB=2√2,AD=√2,M為CD的中點(diǎn),
AM=BM=2,
∴AM⊥BM,
又{平面ADM⊥平面ABCM平面ADM∩平面ABCM=AMBM?平面ABCM
∴BM⊥平面ADM,
∵AD?平面ADM,∴AD⊥BM.
解:(II)以O(shè)為原點(diǎn),OA為x軸,在平面ABCD內(nèi)過O作OA的垂線為y軸,OD為z軸,
建立如圖所示的O-xyz直角坐標(biāo)系,
則A(1,0,0),B(-1,2,0),D(0,0,1),M(-1,0,0)
平面AMD的一個(gè)法向量→n=(0,1,0),
設(shè)→DE=λ→DB,→ME=→MD+λ→DB=(1−λ,2λ,1−λ),→AM=(−2,0,0),
設(shè)平面AME的一個(gè)法向量為→m=(x,y,z),
則{→m•→AM=0→m•→ME=0,即{2x=02λy+(1−λ)z=0,
取y=1,得x=0,y=1,z=2λ1−λ,得→m=(0,1,2λ1−λ),而→n=(0,1,0)
∵二面角E-AM-D的余弦值為√22,
∴cos<→m,→n>=→m•¯n|→m|•|→n|=1√1+(2λ1−λ)2=1√2,
得1+(2λ1−λ)2=2,解得λ=13
因?yàn)?|BD|=\sqrt{6},故|DE|=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明,考查線段長的求法,是中檔題,注意向量法的合理運(yùn)用.
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A. | 32→-→a | B. | →-32→a | C. | 12→-→a | D. | →-12→a |
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分組 | [0,20) | [20,40) | [40,60) | [60,80) | [80,100) | [100,120) |
頻率 | 0.1 | 0.18 | 0.22 | 0.25 | 0.2 | 0.05 |
非“奧運(yùn)迷” | “奧運(yùn)迷” | 合計(jì) | |
40歲以下 | |||
40歲以上 | |||
合計(jì) |
P(K2≥k) | 0.05 | 0.01 |
k | 3.841 | 6.635 |
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