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15.如圖,已知長方形ABCD中,AB=22,AD=2,M為DC的中點(diǎn).將△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM.

( I)求證:AD⊥BM;
( II)若點(diǎn)E是線段DB上的一動點(diǎn),當(dāng)二面角E-AM-D的余弦值為22時,求線段DE的長.

分析 (I)推導(dǎo)出AM⊥BM,從而BM⊥平面ADM,由此能證明AD⊥BM.
(II)以O(shè)為原點(diǎn),OA為x軸,在平面ABCD內(nèi)過O作OA的垂線為y軸,OD為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出線段DE的長.

解答 (本題滿分12分)
證明:(I)∵長方形ABCD中,AB=22,AD=2,M為CD的中點(diǎn),
AM=BM=2,
∴AM⊥BM,
{ADMABCMADMABCM=AMBM?ABCM
∴BM⊥平面ADM,
∵AD?平面ADM,∴AD⊥BM.
解:(II)以O(shè)為原點(diǎn),OA為x軸,在平面ABCD內(nèi)過O作OA的垂線為y軸,OD為z軸,
建立如圖所示的O-xyz直角坐標(biāo)系,
則A(1,0,0),B(-1,2,0),D(0,0,1),M(-1,0,0)
平面AMD的一個法向量n=010,
設(shè)\overrightarrow{DE}=λ\overrightarrow{DB},\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{MD}+λ\overrightarrow{DB}=(1-λ,2λ,1-λ),\overrightarrow{AM}=(-2,0,0)
設(shè)平面AME的一個法向量為\overrightarrow m=(x,y,z),
\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{ME}=0}\end{array}\right.,即\left\{\begin{array}{l}2x=0\\ 2λy+(1-λ)z=0\end{array}\right.,
取y=1,得x=0,y=1,z=\frac{2λ}{1-λ},得\overrightarrow m=(0,1,\frac{2λ}{1-λ}),而\overrightarrow n=(0,1,0)
∵二面角E-AM-D的余弦值為\frac{{\sqrt{2}}}{2},
cos<\overrightarrow m,\overrightarrow n>=\frac{\overrightarrow m•\overline n}{|\overrightarrow m|•|\overrightarrow n|}=\frac{1}{{\sqrt{1+{{(\frac{2λ}{1-λ})}^2}}}}=\frac{1}{{\sqrt{2}}}
1+{(\frac{2λ}{1-λ})^2}=2,解得λ=\frac{1}{3}
因?yàn)?|BD|=\sqrt{6},故|DE|=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$.

點(diǎn)評 本題考查線線垂直的證明,考查線段長的求法,是中檔題,注意向量法的合理運(yùn)用.

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分組[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100)[100,120)
頻率0.10.180.220.250.20.05
將每天準(zhǔn)備收看奧運(yùn)會直播的時間不低于80分鐘的觀眾稱為“奧運(yùn)迷”,已知“奧運(yùn)迷”中有10名40歲以上的觀眾.
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非“奧運(yùn)迷”“奧運(yùn)迷”合計
40歲以下
40歲以上
合計
(2)將每天準(zhǔn)備收看奧運(yùn)會直播不低于100分鐘的觀眾稱為“超級奧運(yùn)迷”,已知“超級奧運(yùn)迷”中有2名40歲以上的觀眾,若從“超級奧運(yùn)迷”中任意選取2人,求至少有1名40歲以上的觀眾的概率.
附:K2=\frac{{n{{({ad-bc})}^2}}}{{({a+b})({a+d})({a+c})({b+d})}}
P(K2≥k)0.050.01
k3.8416.635

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