Question

7．已知函數(shù)f（x）=|x-2|．
（1）解不等式：f（x-1）+f（x+4）≥6；
（2）已知a+b=1（a，b＞0），且對于?x∈R，f（x-m）-f（3-x）≤$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)絕對值不等式的解法，利用分類討論進行求解即可．
（2）利用1的代換，結合基本不等式先求出$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值是4，然后利用絕對值不等式的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）=|x-2|．
∴f（x-1）+f（x+4）≥6等價為|x-3|+|x+2|≥6，
若x≤-2，不等式等價為-（x-3）-（x+2）≥6，即-2x≥5，得x≤-$\frac{5}{2}$，此時x≤-$\frac{5}{2}$，
當-2＜x＜3．不等式等價為-（x-3）+（x+2）≥6，即5≥6，此時不成立．
若x≥3，不等式等價為（x-3）+（x+2）≥6，即2x≥7，即x≥$\frac{7}{2}$，此時x≥$\frac{7}{2}$，
綜上x≥$\frac{7}{2}$或x≤-$\frac{5}{2}$，
即不等式的解集為{x|x≥$\frac{7}{2}$或x≤-$\frac{5}{2}$}．
（2）∵a+b=1（a，b＞0），
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）（a+b）=1+1+$\frac{a}$+$\frac{a}$≥2+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}$=2+2=4，
當且僅當$\frac{a}$=$\frac{a}$，即a=b=$\frac{1}{2}$時取等號，
故$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值為4，
要使f（x-m）-f（3-x）≤$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$恒成立，則f（x-m）-f（3-x）≤4成立即可．
即|x-m-2|-|3-x-2|≤4．
即|x-m-2|-|1-x|≤4．
∵|x-m-2|-|1-x|≤|x-m-2+1-x|=|-m-1|=|m+1|，
∴只要|m+1|≤4即可，
得-4≤m+1≤4，
得-5≤m≤3，
即實數(shù)m的取值范圍是[-5，3]．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，以及不等式恒成立問題，利用1的代換結合基本不等式，將不等式恒成立進行轉(zhuǎn)化求解是解決本題的關鍵．