【題目】設橢圓,點
為其右焦點,過點
的直線與橢圓
相交于點
,
.
(1)當點在橢圓
上運動時,求線段
的中點
的軌跡方程;
(2)如圖1,點的坐標為
,若點
是點
關(guān)于
軸的對稱點,求證:點
,
,
共線;
(3)如圖2,點是直線
上的任意一點,設直線
,
,
的斜率分別為
,
,
,求證
,
,
成等差數(shù)列.
【答案】(1); (2)見解析; (3)見解析.
【解析】
(1)設出中點的坐標,利用點
的坐標得到
點的坐標,將
點的坐標代入橢圓方程,化簡得到點
的軌跡方程.(2)當
斜率存在時,設出直線
的方程,代入橢圓橢圓方程化簡后寫出韋達定理,計算
,由此證得點
,
,
共線. 當
斜率不存在時,由橢圓對稱性,易得結(jié)論成立.(3)設出
的坐標,利用(2)的結(jié)果化簡
的表達式,化簡得到結(jié)果為
,由此證得
,
,
成等差數(shù)列.
(1),設
,則
,
在橢圓
上,所以所求軌跡方程為
.
(2)當斜率存在時,設其方程為:
,
,
將代入橢圓方程并化簡得
其中,
所以,點
,
,
共線,
而當斜率不存在時,由橢圓對稱性,
,
重合,結(jié)論顯然成立,綜上點
,
,
共線;
(3)設,
由(2)知,
故,
,
成等差數(shù)列.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某蔬果經(jīng)銷商銷售某種蔬果,售價為每公斤25元,成本為每公斤15元.銷售宗旨是當天進貨當天銷售.如果當天賣不出去,未售出的全部降價以每公斤10元處理完.根據(jù)以往的銷售情況,得到如圖所示的頻率分布直方圖:
(1)根據(jù)頻率分布直方圖計算該種蔬果日需求量的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代表);
(2)該經(jīng)銷商某天購進了250公斤這種蔬果,假設當天的需求量為公斤
,利潤為
元.求
關(guān)于
的函數(shù)關(guān)系式,并結(jié)合頻率分布直方圖估計利潤
不小于1750元的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,已知
是正三角形,平面
平面
,
,
為
的中點,
在棱
上,且
.
(1)求證:平面
;
(2)若為
的中點,問
上是否存在一點
,使
平面
?若存在,說明點
的位置;若不存在,試說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某!傲柙票被@球隊的成員來自學校高一、高二共10個班的12位同學,其中高一(3)班、高二(3)各出2人,其余班級各出1人,這12人中要選6人為主力隊員,則這6人來自不同的班級的概率為_____.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有一長為100碼,寬為80碼,球門寬為8碼的矩形足球運動場地,如圖所示,其中是足球場地邊線所在的直線,球門
處于所在直線的正中間位置,足球運動員(將其看做點
)在運動場上觀察球門的角
稱為視角.
(1)當運動員帶球沿著邊線奔跑時,設
到底線的距離為
碼,試求當
為何值時
最大;
(2)理論研究和實踐經(jīng)驗表明:張角越大,射門命中率就越大.現(xiàn)假定運動員在球場都是沿著垂直于底線的方向向底線運球,運動到視角最大的位置即為最佳射門點,以
的中點為原點建立如圖所示的直角坐標系,求在球場區(qū)域
內(nèi)射門到球門
的最佳射門點的軌跡.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知兩點分別在
軸和
軸上運動,且
,若動點
滿足
.
(1)求出動點P的軌跡對應曲線C的標準方程;
(2)一條縱截距為2的直線與曲線C交于P,Q兩點,若以PQ直徑的圓恰過原點,求出直線方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了紀念“一帶一路”倡議提出五周年,某城市舉辦了一場知識競賽,為了了解市民對“一帶一路”知識的掌握情況,從回收的有效答卷中按青年組和老年組各隨機抽取了40份答卷,發(fā)現(xiàn)成績都在內(nèi),現(xiàn)將成績按區(qū)間
,
,
,
,
進行分組,繪制成如下的頻率分布直方圖.
青年組
中老年組
(1)利用直方圖估計青年組的中位數(shù)和老年組的平均數(shù);
(2)從青年組,
的分數(shù)段中,按分層抽樣的方法隨機抽取5份答卷,再從中選出3份答卷對應的市民參加政府組織的座談會,求選出的3位市民中有2位來自
分數(shù)段的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2018年9月,臺風“山竹”在我國多個省市登陸,造成直接經(jīng)濟損失達52億元.某青年志愿者組織調(diào)查了某地區(qū)的50個農(nóng)戶在該次臺風中造成的直接經(jīng)濟損失,將收集的數(shù)據(jù)分成五組:,
,
,
,
(單位:元),得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)試根據(jù)頻率分布直方圖估計該地區(qū)每個農(nóng)戶的平均損失(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表);
(2)臺風后該青年志愿者與當?shù)卣蛏鐣l(fā)出倡議,為該地區(qū)的農(nóng)戶捐款幫扶,現(xiàn)從這50戶并且損失超過4000元的農(nóng)戶中隨機抽取2戶進行重點幫扶,設抽出損失超過8000元的農(nóng)戶數(shù)為,求
的分布列和數(shù)學期望.
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