Question

6．已知復數(shù)z₁=$\frac{2}{1-a}$+（2a-5）i，z₂=$\frac{3}{a+5}$+（10-a²）i，其中a為實數(shù)，i為虛數(shù)單位．
（1）若復數(shù)z₁在復平面內對應的點在第三象限，求a的取值范圍；
（2）若z₁+$\overline{{z}_{2}}$是實數(shù)（$\overline{{z}_{2}}$表示z₂的共軛復數(shù)），求|z₁|的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)復數(shù)的幾何意義結合第三象限點到坐標符號建立不等式進行求解，
（2）根據(jù)復數(shù)的基本運算和概念進行求解．

解答 解：（1）若復數(shù)z₁在復平面內對應的點在第三象限，
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{1-a}＜0}\\{2a-5＜0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a＜\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，即1＜a＜$\frac{5}{2}$，即實數(shù)a的取值范圍是1＜a＜$\frac{5}{2}$．
（2）∵z₂=$\frac{3}{a+5}$+（10-a²）i，∴$\overline{{z}_{2}}$=$\frac{3}{a+5}$-（10-a²）i
則z₁+$\overline{{z}_{2}}$=$\frac{2}{1-a}$+（2a-5）i+$\frac{3}{a+5}$-（10-a²）i=$\frac{3}{a+5}$+$\frac{2}{1-a}$+[（2a-5）-（10-a²）]i，
若z₁+$\overline{{z}_{2}}$是實數(shù)，則2a-5-（10-a²）=0且a≠1且a≠-5，
由2a-5-（10-a²）=0得a²+2a-15=0得a=3或a=-5（舍），
則z₁=$\frac{2}{1-a}$+（2a-5）i=-1+i，
則|z₁|=$\sqrt{2}$

點評 本題主要考查復數(shù)的有關概念和基本運算，利用復數(shù)幾何意義轉化為點的坐標是解決本題的關鍵．