Question

定義在R上的函數f（x）滿足f（x+2）=

1

2

f（x），當x∈[0，2）時，f（x）=

1 2 -2x2， 0≤x＜1 - 21- | x -   3 2  |，  1≤x＜2.

函數g（x）=x³+3x²+m．若?s∈[-4，2），?t∈[-4，-2），不等式f（s）-g（t）≥0成立，則實數m的取值范圍是（　　）

• A、（-∞，-12]
• B、（-∞，-4]
• C、（-∞，8]
• D、（-∞，

  31

  2

  ]

Answer 1

考點：其他不等式的解法,特稱命題

專題：計算題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：由f（x+2）=

1

2

f（x）得f（-

1

2

）=2f（

3

2

）=2×（-2）=-4，x∈[-4，-3]，f（-

5

2

）=2f（-

1

2

）=-8，
?s∈[-4，2），f（s）_最小=-8，借助導數判斷：?t∈[-4，-2），g（t）_最小=g（-4）=m-16，
不等式f（s）-g（t）≥0恒成立，得出f（s）_小=-8≥g（t）_最小=g（-4）=m-16，求解即可．

解答： 解：∵當x∈[0，2）時，f（x）=

1 2 -2x2， 0≤x＜1 - 21- | x -   3 2  |，  1≤x＜2.

，
∴x∈[0，2），f（0）=

1

2

為最大值，
∵f（x+2）=

1

2

f（x），
∴f（x）=2f（x+2），
∵x∈[-2，0]，
∴f（-2）=2f（0）=2×

1

2

=1，
∵x∈[-4，-3]，
∴f（-4）=2f（-2）=2×1=2，
∵?s∈[-4，2），
∴f（s）_最大=2，
∵f（x）=2f（x+2），
x∈[-2，0]，
∴f（-

1

2

）=2f（

3

2

）=2×（-2）=-4，
∵x∈[-4，-3]，
∴f（-

5

2

）=2f（-

1

2

）=-8，
∵?s∈[-4，2），
∴f（s）_最小=-8，
∵函數g（x）=x³+3x²+m，
∴g′（x）=3x²+6x，
3x²+6x＞0，x＞0，x＜-2，
3x²+6x＜0，-2＜x＜0，
3x²+6x=0，x=0，x=-2，
∴函數g（x）=x³+3x²+m，在（-∞，-2）（0，+∞）單調遞增．
在（-2，0）單調遞減，
∴?t∈[-4，-2），g（t）_最小=g（-4）=m-16，
∵不等式f（s）-g（t）≥0，
∴-8≥m-16，
故實數滿足：m≤8，
故選C．

點評：本題考查了函數的圖象的應用，判斷最大值，最小值問題，來解決恒成立和存在性問題，屬于中檔題．