Question

“光盤行動”倡導(dǎo)厲行節(jié)約反對鋪張浪費，帶動大家珍惜糧食，吃光盤子中的食物．為調(diào)查某地區(qū)響應(yīng)“光盤行動”的實際情況，某校幾位同學(xué)組成研究性學(xué)習(xí)小組，從某社區(qū)[10，60]歲的人群中隨機抽取n人進行了一次調(diào)查，得到如下統(tǒng)計表：

分組	頻數(shù)	頻率	“光盤族”占本組的比例
[10，20﹚	150	0.15	30%
[20，30﹚	200	y	45%
[30，40﹚	300	0.3	50%
[40，50﹚	x	0.2	55%
[50，60﹚	150	0.15	50%

（Ⅰ）求x，y，n的值，并估計本社區(qū)[10，60]歲的人群中“光盤族”人數(shù)所占的比例；
（Ⅱ）從年齡段在[20，30）與[30，40）的“光盤族”中，采用分層抽樣法抽取8人參加節(jié)約糧食宣傳活動，并從這8人中選取2人作為領(lǐng)隊，求2名領(lǐng)隊的年齡之和X的分布列和數(shù)學(xué)期望（假定每人年齡段的中間值計算）．

Answer 1

考點：頻率分布直方圖,分層抽樣方法

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）根據(jù)各小組的頻率和為1，求出y的值，根據(jù)樣本容量與頻率、頻數(shù)的關(guān)系求出n、x的值，計算“光盤族”人數(shù)所占的比例即可；
（Ⅱ）求出年齡段在[20，30）與[30，40）的“光盤族”人數(shù)，用分層抽樣法抽取的人數(shù)，得出X的可能值，求出概率，寫出分布列與期望．

解答： 解：（Ⅰ）根據(jù)各小組的頻率和為1，得；
0.15+y+0.3+0.2+0.15=1，
∴y=0.2；
∴n=150÷0.15=1000，
x=1000×0.2=200，
又∵150×30%+200×45%+300×50%+200×55%+150×50%=470，
∴470÷1000=0.47，
∴估計本社區(qū)[10，60]歲的人群中“光盤族”人數(shù)所占的比例為47%；
（Ⅱ）年齡段在[20，30）的“光盤族”有90人，在[30，40）的“光盤族”有150人，
采用分層抽樣法從中抽取8人，在[20，30）的應(yīng)抽8×

90

90+150

=3人，在[30，40）的應(yīng)抽5人，
從這8人中選取2人作為領(lǐng)隊，則這2名領(lǐng)隊的年齡之和X的可能值為50、60、70；
∴P（X=50）=

C 2 3

C 2 8

=

3

28

，
P（X=60）=

C 1 3 C 1 5

C 2 8

=

15

28

，
P（X=70）=

C 2 5

C 2 8

=

10

28

；
∴X的分布列為：

X	50	60	70
P（X）	3 28	15 28	10 28

∴X的數(shù)學(xué)期望是EX=50×

3

28

+60×

15

28

+70×

10

28

=62.5（假定按每人年齡段的中間值計算）．

點評：本題考查了頻率分布表與離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計算問題，是基礎(chǔ)性題目．