Question

△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若C=2A，cosA=

3

4

，

BA

•

BC

=

27

2

，
（1）求cosB；
（2）求邊AC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,解三角形

分析：（1）由C=2A，得到cosC=cos2A，cos2A利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，將cosA的值代入求出cosC的值，發(fā)現(xiàn)cosC的值大于0，由A和B為三角形的內(nèi)角，得到A和B都為銳角，進(jìn)而利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinA和sinC的值，最后利用三角形的內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)cosB，再利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，將各自的值代入即可求出cosB的值；
（2）利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡(jiǎn)已知的等式

BA

•

BC

=

27

2

，由cosB的值，求出ac的值，由a，c，sinA和sinC，利用正弦定理列出關(guān)系式，將C=2A代入并利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，用c表示出a，代入ac=24中，求出c的值，進(jìn)而得到a的值，最后由a，c及cosB的值，利用余弦定理即可求出b的值．

解答： 解：（1）∵C=2A，cosA=

3

4

，
∴cosC=cos2A=2cos²A-1=2×

9

16

-1=

1

8

＞0，
∵0＜A＜π，0＜C＜π，
∴0＜A＜

π

2

，0＜C＜

π

2

∴sinA=

1- 9 16

=

7

4

，sinC=

1- 1 64

=

3 7

8

，
∴cosB=cos[π-（A+C）]=-cos（A+C）
=-（cosAcosC-sinAsinC）=-（

3

4

×

1

8

-

7

4

×

3 7

8

）=

9

16

；
（2）∵

BA

•

BC

=

27

2

，
∴accosB=

27

2

，
∵cosB=

9

16

，
∴ac=24，
∵

a

sinA

=

c

sinC

=

c

sin2A

=

c

2sinAcosA

，
∴a=

c

2cosA

=

2

3

c，
由

a= 2 3 c ac=24

解得

a=4 c=6

，
∴b²=a²+c²-2accosB=4²+6²-2×24×

9

16

=25，
∴b=5，即AC=5．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，誘導(dǎo)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．