Question

4．在直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P是準(zhǔn)線上任一點(diǎn)，直線PF交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若$\overrightarrow{FP}$=4$\overrightarrow{FA}$，則S_△AOB=（　�。�

• A． $\frac{5\sqrt{2}}{6}$
• B． 3$\sqrt{2}$
• C． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{9}{2}$

Answer 1

分析 先求出直線PF的方程，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合三角形的面積公式，即可得出結(jié)論．

解答 解：不妨設(shè)B在x軸上方，直線PF的傾斜角為α，
∵$\overrightarrow{FP}$=4$\overrightarrow{FA}$，
∴由拋物線的定義，可得cosθ=$\frac{1}{3}$，
∴tanθ=2$\sqrt{2}$
∵拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），
∴直線PF的方程為y=2$\sqrt{2}$（x-1），即x=$\frac{\sqrt{2}}{4}$y+1，
代入y²=4x，可得y²-$\sqrt{2}$y-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=$\sqrt{2}$，y₁y₂=-4，
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{2+16}$=3$\sqrt{2}$，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}×1×3\sqrt{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的性質(zhì)，考查三角形面積的計(jì)算，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．