Question

12．如圖，點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）（y₁＞0，y₂＜0，y₃＜0）是拋物線y²=2px（p＞0）上不同三點，AB，AC分別與x軸交于點E、F，BF與OC，EC分別交于M，N，則（　�。�

• A． S_△OBM=S_△ENF+S_△MNC
• B． S_△OBM=S_△ENF-S_△MNC
• C． S_△OBM+S_△ENF=S_△MNC
• D． S_△OBM+S_△ENF=2S_△MNC

Answer 1

分析 設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），E（x₄，y₄），F（x₅，y₅），即證即證利用直線的方程與拋物線的方程聯立可得根與系數，進而得到x₅y₂=x₄y₃，S_△OBF=S_△OCE，即可得出結論．

解答 解：設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），E（x₄，y₄），F（x₅，y₅）．
設直線AB的方程為x=ty+x₄，代入y²=2px得y²-2pty-2px₄=0，
由韋達定理得，y₁y₂=-2px₄，①
同理可得y₁y₃=-2px₅   ②
①×y₃得y₁y₂y₃=-2px₄y₃，②×y₂得y₁y₂y₃=--2px₅y₂，
∴x₅y₂=x₄y₃，∴S_△OBF=S_△OCE，∴S_△OBM+S_△ENF=S_△MNC，
故選：C．

點評 本題考查了直線與拋物線相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．