Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）若，求實數取值的集合；

（Ⅱ）證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）證明見解析

【解析】

（1）當時，不滿足題意，當時，求的最小值，即可得到本題答案；

（2）要證，只需證當時，，

求得的最小值，即可得到本題答案.

（Ⅰ）由已知，有

當時，，與條件矛盾,

當時，若，則，單調遞減,若，則，則單調遞增.

所以在上有最小值，

由題意，所以.

令，所以，

當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以在上有最大值，所以，，，，

綜上，當時，實數取值的集合為；

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知：時，，即在時恒成立.

要證，只需證當時，

令

，令，

則，令，解得，

所以，函數在內單調遞減，在上單調遞增.

即函數在內單調遞減，在上單調遞增.

而.

存在，使得

當時，單調遞增；當時，單調遞減.

當時，單調遞增，

又，

對恒成立，即，

綜上可得：成立.