Question

已知函數(shù)f（x）=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ（n∈N^*）且a₁，a₂，…，a_n構成一個數(shù)列，又f（1）=n²
（1）求數(shù)列{a_n} 的通項公式；
（2）比較f（

1

3

）與1的大�。�

Answer 1

分析：（1）f（1）=n²，得出a₁+a₂+a₃+…+a_n=n²，當n≥2時a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=（n-1）²，兩式相減求通項即可．
（2）由（1）應得出f（

1

3

）=（

1

3

）+3（

1

3

）²+5（

1

3

）³+…+（2n-1）（

1

3

）ⁿ，將f（

1

3

）看成一個數(shù)列的前n項和，由錯位相減法求出，再與1比較．

解答：解：（1）f（1）=n²
得出a₁+a₂+a₃+…+a_n=n²  ①
當n≥2時a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=（n-1）²  ②
①-②得a_n=n²-（n-1）²=2n-1
又在①中令n=1得出a₁=1，也適合上式
所以數(shù)列{a_n} 的通項公式a_n=2n-1．
（2）f（

1

3

）=（

1

3

）+3（

1

3

）²+5（

1

3

）³+…+（2n-1）（

1

3

）ⁿ，
兩邊都乘以

1

3

，可得

1

3

f（

1

3

）=（

1

3

）²+3（

1

3

）³+5（

1

3

）⁴+…+（2n-1）（

1

3

）ⁿ⁺¹，
兩式相減，得

2

3

f（

1

3

）=（

1

3

）+2（

1

3

）²+2（

1

3

）³+…+2（

1

3

）ⁿ…-（2n-1）（

1

3

）ⁿ⁺¹，
=

1

3

+

2 9 [1-( 1 3 )n-1]

1- 1 3

-（2n-1）（

1

3

）ⁿ⁺¹，
=

2

3

-(

1

3

)n•

2n+2

3

則f（

1

3

）=1-(

1

3

)n•(n+1)＜1

點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，涉及等差數(shù)列的性質與錯位相減法求數(shù)列的前n項和；考查構造、變形、計算、推理論證能力．