Question

12．某保險(xiǎn)公司有款保險(xiǎn)產(chǎn)品的歷史收益率（收益率=利潤(rùn)÷保費(fèi)收入）的頻率分布直方圖如圖所示：
（1）試估計(jì)這款保險(xiǎn)產(chǎn)品的收益率的平均值；
（Ⅱ）設(shè)每份保單的保費(fèi)在20元的基礎(chǔ)上每增加x元，對(duì)應(yīng)的銷量y（萬(wàn)份），從歷史銷售記錄中抽樣得到如下5組x與y的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：

X（元）	25	30	38	45	52
銷售量y（萬(wàn)份）	7.5	7.1	6.0	5.6	4.8

由上表，知x與y有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，且據(jù)此計(jì)算出的回歸方程為$\widehat{y}$=10.0-bx．
（i）求參數(shù)b的估計(jì)值；
（ii）若把回歸方程$\widehat{y}$=10.0-bx當(dāng)作y與x的線性關(guān)系，用（Ⅰ）中求出的收益率的平均值作為此產(chǎn)品的收益率，試問每份保單的保費(fèi)定為多少元時(shí)此產(chǎn)品可獲得最大利潤(rùn)，并求出該最大利潤(rùn)．注：保險(xiǎn)產(chǎn)品的保費(fèi)收入=每份保單的保費(fèi)×銷量．

Answer 1

分析 （i）利用公式，求參數(shù)b的估計(jì)值；
（ii）設(shè)每份保單的保費(fèi)為20+x元，則銷量為y=10-0.1x，則保費(fèi)收入為f（x）=（20+x）（10-0.1x）萬(wàn)元，f（x）=200+8x-0.1x²=360-0.1（x-40）²，即可得出結(jié)論．

解答 解：（i）$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（25+30+38+45+52）=38，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（7.5+7.1+6.0+5.6+4.8）=6.2，
所以b=$\frac{10.0-6.2}{38}$=0.10；
（ii）設(shè)每份保單的保費(fèi)為20+x元，則銷量為y=10-0.1x，
則保費(fèi)收入為f（x）=（20+x）（10-0.1x）萬(wàn)元，
f（x）=200+8x-0.1x²=360-0.1（x-40）²，
當(dāng)x=40元時(shí)，保費(fèi)收入最大為360萬(wàn)元，
保險(xiǎn)公司預(yù)計(jì)獲利為360×0.275=99萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查回歸方程，考查概率的計(jì)算，考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，屬于中檔題．