【題目】正方體中，是棱的中點，是側(cè)面上的動點，且平面，記與的軌跡構(gòu)成的平面為．

①，使得；

②直線與直線所成角的正切值的取值范圍是；

③與平面所成銳二面角的正切值為；

④正方體的各個側(cè)面中，與所成的銳二面角相等的側(cè)面共四個．

其中正確命題的序號是________．（寫出所有正確命題的序號）

【答案】①②③④

【解析】

取中點,中點,中點,先利用中位線的性質(zhì)判斷點的運動軌跡為線段,平面即為平面,畫出圖形,再依次判斷:①利用等腰三角形的性質(zhì)即可判斷；②直線與直線所成角即為直線與直線所成角,設(shè)正方體的棱長為2,進而求解；③由,取為中點,則,則即為與平面所成的銳二面角,進而求解；④由平行的性質(zhì)及圖形判斷即可.

取中點,連接,則,所以,所以平面即為平面,

取中點,中點,連接,則易證得,

所以平面平面,所以點的運動軌跡為線段,平面即為平面.

①取為中點,因為是等腰三角形,所以,又因為,所以,故①正確；

②直線與直線所成角即為直線與直線所成角,設(shè)正方體的棱長為2,當(dāng)點為中點時,直線與直線所成角最小,此時,；

當(dāng)點與點或點重合時,直線與直線所成角最大,此時,

所以直線與直線所成角的正切值的取值范圍是,②正確；

③與平面的交線為,且,取為中點,則即為與平面所成的銳二面角,,所以③正確；

④正方體的各個側(cè)面中,平面,平面,平面,平面與平面所成的角相等,所以④正確．

故答案為:①②③④

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知命題：函數(shù)在上單調(diào)遞增；命題：函數(shù)在上單調(diào)遞減.

（Ⅰ）若是真命題，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）若或為真命題，且為假命題，求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】隨著手機的發(fā)展，“微信”逐漸成為人們交流的一種形式．某機構(gòu)對“使用微信交流”的態(tài)度進行調(diào)查，隨機抽取了50人，他們年齡的頻數(shù)分布及對“使用微信交流”贊成人數(shù)如下表．

年齡

(單位：歲)

[15,25)

[25,35)

[35,45)

[45,55)

[55,65)

[65,75]

頻數(shù)

5

10

15

10

5

5

贊成人數(shù)

5

10

12

7

2

1

(1)若以“年齡45歲為分界點”，由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認為“使用微信交流”的態(tài)度與人的年齡有關(guān)；

年齡不低于45歲的人數(shù)

年齡低于45歲的人數(shù)

合計

贊成

不贊成

合計

(2)若從年齡在[55,65)的被調(diào)查人中隨機選取2人進行追蹤調(diào)查，求2人中至少有1人不贊成“使用微信交流”的概率.

參考數(shù)據(jù)：

P(K2≥k0)

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

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【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）設(shè)，且，求證:.

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【題目】將編號為1，2，3，4，5，6，7的小球放入編號為1，2，3，4，5，6，7的七個盒子中，每盒放一球，若有且只有三個盒子的編號與放入的小球的編號相同，則不同的放法種數(shù)為（ ）.

A.5040B.24C.315D.840

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【題目】已知橢圓：（），點是的左頂點，點為上一點，離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)過點的直線與的另一個交點為（異于點），是否存在直線，使得以為直徑的圓經(jīng)過點，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

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【題目】在給出的下列命題中，正確的是（ ）

A.設(shè)是同一平面上的四個點，若，則點必共線

B.若向量是平面上的兩個向量，則平面上的任一向量都可以表示為，且表示方法是唯一的

C.已知平面向量滿足則為等腰三角形

D.已知平面向量滿足，且，則是等邊三角形

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【題目】已知函數(shù).

（1）若，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最大值；

（2）若且，求函數(shù)在上的最大值的表達式.

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【題目】在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（m為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為，直線與曲線C交于M，N兩點.

（1）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；

（2）求|MN|.

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