Question

16．已知點(diǎn)A為拋物線C：x²=4y上的動(dòng)點(diǎn)（不含原點(diǎn)），過點(diǎn)A的切線交x軸于點(diǎn)B，設(shè)拋物線C的焦點(diǎn)為F，則∠ABF一定是直角．（填：鈍角、銳角、直角）

Answer 1

分析 求導(dǎo)數(shù)，利用點(diǎn)斜式方程求得過A的切線方程，解出B的坐標(biāo)，求出$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{BF}$的坐標(biāo)，可得計(jì)算$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BF}$=0即可得出結(jié)論．

解答 解：由x²=4y可得y=$\frac{1}{4}$x²，求導(dǎo)y′=$\frac{1}{2}$x，
設(shè)A（x₀，$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$），則
過A的切線方程為y-$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$=$\frac{1}{2}$x₀（x-x₀），
令y=0，可得x=$\frac{1}{2}$x₀，則B（$\frac{1}{2}$x₀，0），
∵F（0，1），
∴$\overrightarrow{BA}$=（$\frac{1}{2}$x₀，$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$），$\overrightarrow{BF}$=（-$\frac{1}{2}$x₀，1），
∴$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BF}$=0，
∴∠ABF=90°，
∠ABF一定是直角，
故答案為：直角．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．