17．四面體ABCD的四個頂點(diǎn)均在半徑為2的球面上，若AB，AC，AD兩兩垂直，$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=2$，則四面體ABCD．體積的最大值為$\frac{7\sqrt{2}}{6}$．

分析 由題意，$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=c2=2，則a2+b2+2=16，利用基本不等式，可得ab≤7，利用體積公式，即可求出四面體ABCD體積的最大值．即可求出四面體體積的最大值．

解答 解：由題意，$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=c•$\sqrt{{c}^{2}+{a}^{2}}$•$\frac{c}{\sqrt{{c}^{2}+{a}^{2}}}$=c2=2，
∵a2+b2+c2=16，
∴a2+b2=14≥2ab，
∴ab≤7，
∴四面體ABCD體積V=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$abc=$\frac{\sqrt{2}}{6}$ab≤$\frac{7\sqrt{2}}{6}$，
∴四面體ABCD體積的最大值$\frac{7\sqrt{2}}{6}$，
故答案為：$\frac{7\sqrt{2}}{6}$

點(diǎn)評 本題考查四面體ABCD體積的最大值，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

7．（1）若|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=1，且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角為60°，求|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|；
（2）若tanθ=3，求$\frac{{5{{sin}^3}θ+cosθ}}{{2{{cos}^3}θ+{{sin}^2}θcosθ}}$的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

8．在銳角△abc中，若a=$\sqrt{3}$，A=$\frac{π}{3}$．則b+c的取值范圍$（\sqrt{3}，2\sqrt{3}]$．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

5．如圖所示，已知圓A的圓心在直線y=-2x上，且該圓存在兩點(diǎn)關(guān)于直線x+y-1=0對稱，又圓A與直線l1：x+2y+7=0相切，過點(diǎn)B（-2，0）的動直線l與圓A相交于M，N兩點(diǎn)，Q是MN的中點(diǎn)，直線l與l1相交于點(diǎn)P．
（1）求圓A的方程；
（2）當(dāng)$|{MN}|=2\sqrt{19}$時，求直線l的方程；
（3）（$\overrightarrow{BM}$+$\overrightarrow{BN}$）•$\overrightarrow{BP}$是否為定值？如果是，求出其定值；如果不是，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

12．已知M是關(guān)于x的不等式x2+（a-4）x-（a+1）（2a-3）＜0的解集，且M中的一個元素是0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并用a表示出M．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

2．若函數(shù)y=f（x）滿足f（a+x）+f（a-x）=2b（其中a，b不同時為0），則稱函數(shù)y=f（x）為“準(zhǔn)奇函數(shù)”，稱點(diǎn)（a，b）為函數(shù)f（x）的“中心點(diǎn)”．現(xiàn)有如下命題：
①函數(shù)f（x）=sinx+1是準(zhǔn)奇函數(shù)；
②若準(zhǔn)奇函數(shù)y=f（x）在R上的“中心點(diǎn)”為（a，f（a）），則函數(shù)F（x）=f（x+a）-f（a）為R上的奇函數(shù)；
③已知函數(shù)$f（x）=sin（{2x-\frac{π}{3}}）+2$是準(zhǔn)奇函數(shù)，則它的“中心點(diǎn)”為$（{\frac{π}{3}+kπ，2}）$
④已知函數(shù)f（x）=x3-3x2+6x-2是準(zhǔn)奇函數(shù)，則它的“中心點(diǎn)”為（1，2）；
其中正確的命題是①②④（寫出所有正確命題的序號）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

9．已知|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|=1，則（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）=（　　）
A．-1B．4C．9D．14

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

6．求下列函數(shù)的定義域：
（1）y=tanx+$\frac{1}{tanx}$；
（2）y=$\sqrt{sinx}$+tanx．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

7．已知二次函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x2+$\frac{2}{3}$x．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)（n，Sn）（n∈N*）在二次函數(shù)y=f（x）的圖象上．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)bn=anan+1cos[（n+1）π]（n∈N*），數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，若Tn≥tn2對n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（Ⅲ）在數(shù)列{an}中是否存在這樣一些項(xiàng)：a${\;}_{{n}_{1}}$，a${\;}_{{n}_{2}}$，a${\;}_{{n}_{3}}$，…，a${\;}_{{n}_{k}}$這些項(xiàng)都能夠
構(gòu)成以a1為首項(xiàng)，q（0＜q＜5）為公比的等比數(shù)列{a${\;}_{{n}_{k}}$}？若存在，寫出nk關(guān)于f（x）的表達(dá)式；若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案