Question

19．已知x²+y²=10，則3x+4y的最大值是5$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 令z=3x+4y，可得直線y=-$\frac{3}{4}$+$\frac{z}{4}$ 在y軸上的截距為$\frac{z}{4}$，當直線和圓x²+y²=10相切時，$\frac{z}{4}$取得最值，z取得最值．根據(jù)直線和圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，求出z的值，從而得到z的最大值．

解答 解：令z=3x+4y，即y=-$\frac{3}{4}$+$\frac{z}{4}$，故直線y=-$\frac{3}{4}$+$\frac{z}{4}$ 在y軸上的截距為$\frac{z}{4}$，
故當直線y=-$\frac{3}{4}$+$\frac{z}{4}$ 在y軸上的截距最大時，z最大．
根據(jù)題意可得，當直線和圓x²+y²=10相切時，$\frac{z}{4}$取得最值．
由$\sqrt{10}$=$\frac{|0+0-z|}{5}$ 可得z=±5$\sqrt{10}$，故z的最大值為5$\sqrt{10}$．
故答案為：5$\sqrt{10}$．

點評 本題主要考查簡單的線性規(guī)劃問題，直線和圓相切的性質，點到直線的距離公式的應用，屬于中檔題．