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19.在△ABC中,D,E分別為線段AB,AC上的點(diǎn),且AD=12ABAE=23AC,若BE⊥CD,則sinA的最大值為12

分析 以A為原點(diǎn),以AC所在的直線為x軸,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,設(shè)△ABC中的邊BC,AC,AB,分別為a,b,c,可得D(12ccosA,12csinA),E(23b,0),BE=(23b-ccosA,-csinA),CD=(12ccosA-b,12csinA),由BECD=(23b-ccosA)•(12ccosA-b)-12c2sin2A=0,得43bccosA-232-12c2(cos2A+sin2A)=0,cosA=12c2+23243bc21343bcbc=32,即可求解

解答 解:以A為原點(diǎn),以AC所在的直線為x軸,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,
設(shè)△ABC中的邊BC,AC,AB,分別為a,b,c,
∴A(0,0),C(b,0),B(ccosA,csinA),
AD=12ABAE=23AC,
∴D(12ccosA,12csinA),E(23b,0),
BE=(23b-ccosA,-csinA),CD=(12ccosA-b,12csinA),
∵BE⊥CD,
BECD=(23b-ccosA)•(12ccosA-b)-12c2sin2A=0,
43bccosA-232-12c2(cos2A+sin2A)=0,
∴cosA=12c2+23243bc21343bcbc=32
sinA134=12,
則sinA的最大值為12,
故答案為:12

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量與三角的綜合應(yīng)用,考查了建立坐標(biāo)系處理平面幾何問題的解題策略,屬于中檔題.

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