Question

3．已知F₁、F₂為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的左、右焦點(diǎn)，M為雙曲線上一點(diǎn)，且$\overline{M{F}_{1}}$•$\overline{M{F}_{2}}$=0，則點(diǎn)M到x軸的距離為（　�。�

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{5}{4}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 求得雙曲線的a，b，c，可得焦距，設(shè)M（m，n）在第一象限，由雙曲線的定義和勾股定理，可得|MF₁|•|MF₂|=10，再由三角形的面積公式，計(jì)算即可得到所求距離．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的a=2，b=$\sqrt{5}$，
可得c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=3，
則|F₁F₂|=2c=6，
設(shè)M（m，n）在第一象限，由雙曲線的定義可得
|MF₁|-|MF₂|=2a=4，①
由勾股定理可得|MF₁|²+|MF₂|²=|F₁F₂|²=36，②
由②-①²，可得，|MF₁|•|MF₂|=10，
由三角形的面積公式，可得|MF₁|•|MF₂|=n|F₁F₂|，
可得n=$\frac{|M{F}_{1}|•|M{F}_{2}|}{|{F}_{1}{F}_{2}|}$=$\frac{10}{6}$=$\frac{5}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查直角三角形的勾股定理和等積法的運(yùn)用，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題．