分析 (Ⅰ)取棱AB的中點(diǎn)G,連接DG,PG,證明:DC⊥平面PDG,于是DC⊥PD,證明PD2+DG2=PG2,于是PD⊥DG,利用線(xiàn)面垂直的判定定理,即可證明直線(xiàn)PD⊥平面ABCD;
(Ⅱ) DG,DC,DP兩兩垂直,以它們所在的直線(xiàn)作為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面AEC的法向量,即可求直線(xiàn)PA與平面AEC所成的角的正弦值.
解答 (Ⅰ)證明:如圖,取棱AB的中點(diǎn)G,連接DG,PG.則DC∥GB,DC=GB,
所以四邊形BCDG是平行四邊形.
又AB⊥BC,所以四邊形BCDG是矩形.所以AB⊥DG.
由PA=PB=3,得PG⊥AB.
因?yàn)镻G∩DG=G,PG?平面PDG,DG?平面PDG,所以AB⊥平面PDG,即得DC⊥平面PDG.…(2分)
于是DC⊥PD,PD2+DC2=PC2,其中DC=1,$PC=\sqrt{5}$,所以PD=2.
又DG=BC=2,$PG=\sqrt{P{B^2}-G{B^2}}=2\sqrt{2}$.所以PD2+DG2=PG2,于是PD⊥DG.
又DG∩DC=D,DG?平面ABCD,CD?平面ABCD.
所以PD⊥平面ABCD.…(4分)
(Ⅱ)解:由上可知DG,DC,DP兩兩垂直,以它們所在的直線(xiàn)作為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),則P(0,0,2),A(2,-1,0),C(0,1,0),$E(1,\frac{1}{2},1)$.…(6分)
設(shè)向量$\overrightarrow{n}$⊥平面AEC,并且$\overrightarrow{n}$=(x0,y0,z0).則$\left\{\begin{array}{l}-{x_0}+\frac{3}{2}{y_0}+{z_0}=0\\-2{x_0}+2{y_0}=0.\end{array}\right.$…(8分)
取x0=2,則$\overrightarrow{n}$=(2,2,-1),而$\overrightarrow{PA}=(2,-1,-2)$.…(10分)
設(shè)直線(xiàn)PA與平面AEC所成的角為θ,則sinθ=$\frac{4}{9}$.…(12分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間先面垂直以及直線(xiàn)和平面所成角的計(jì)算,考察向量方法的運(yùn)用,屬于中檔題.
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A. | $\sqrt{5}$ | B. | 3 | C. | $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$ | D. | $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$ |
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