Question

【題目】已知函數(shù)f(x)=ex-x2 -kx（其中e為自然對數(shù)的底，k為常數(shù)）有一個極大值點和一個極小值點．

（1）求實數(shù)k的取值范圍；

（2）證明：f(x)的極大值不小于1．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）求出，記，問題轉(zhuǎn)化為方程有兩個不同解，求導(dǎo)，研究極值即可得結(jié)果 ；

（2）由（1）知，在區(qū)間上存在極大值點，且，則可求出極大值，記，求導(dǎo)，求單調(diào)性，求出極值即可.

（1），由，

記，，

由，且時，，單調(diào)遞減，，

時，，單調(diào)遞增，，

由題意，方程有兩個不同解，所以；

（2）解法一：由（1）知，在區(qū)間上存在極大值點，且，

所以的極大值為，

記，則，

因為，所以，

所以時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，

所以，即函數(shù)的極大值不小于1.

解法二：由（1）知，在區(qū)間上存在極大值點，且，

所以的極大值為，

因為，，所以.

即函數(shù)的極大值不小于1.