Question

已知函數(shù)f（x）=a^x，（a＞0且a≠1）的反函數(shù)是y=g（x）．
（1）求函數(shù)y=g（x）的表達(dá)式；
（2）對(duì)于函數(shù)y=g（x），當(dāng)x∈[2，8]時(shí)，最大值與最小值的差是2，求a的值；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）先令y=f（x）=a^x，用y表示出x，再交換x，y的位置，即可得出反函數(shù)
（2）對(duì)a進(jìn)行分類討論，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)log_ax在[2，8]上的單調(diào)性，進(jìn)而可得其最大最小值，相差可得a，從而求出答案．
（3）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)y=a^x在[0，3]上是增函數(shù)，進(jìn)而可得其最大最小值，相加可得答案．

解答：解：（1）令y=f（x）=a^x，
由有x=log_ay
故函數(shù)的反函數(shù)的解析式是y=log_ax，（x＞0）
（2）當(dāng)a＞1時(shí)．函數(shù)y=log_ax在[2，8]上是增函數(shù)，
所以最大值為log_a8，最小值為log_a2，
最大值與最小值的差是2，
∴l(xiāng)og_a8-log_a2=2，解得：a=2；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)．函數(shù)y=log_ax在[2，8]上是減函數(shù)，
所以最大值為log_a2，最小值為log_a8，
最大值與最小值的差是2，
∴l(xiāng)og_a2-log_a8=2，解得：a=

1

2

；
綜上所述，a的值2或

1

2

；
（3）當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)y=2^x在[0，3]上是增函數(shù)，函數(shù)y=f（x）的值域?yàn)椋篬1，8]；
當(dāng)a=

1

2

時(shí)，函數(shù)y=

1

2

^x在[0，3]上是增函數(shù)，函數(shù)y=f（x）的值域?yàn)椋篬

1

8

，1]；

點(diǎn)評(píng)：本題考查反函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的值域與最值．在處理指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)問(wèn)題時(shí)，若對(duì)數(shù)未知，一般情況下要對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論，分為0＜a＜1，a＞1兩種情況，然后在每種情況對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解答，然后再將結(jié)論綜合，得到最終的結(jié)果