Question

11．設(shè)A是雙曲線y=$\frac{2017}{x}$上一動(dòng)點(diǎn)，自A向橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1引兩切線AP，AQ，切點(diǎn)分別為P，Q，若橢圓的左焦點(diǎn)為F，求$\frac{|AF{|}^{2}}{|PF||QF|}$的最小值．

Answer 1

分析 求出橢圓的a，b，c，e的值，以及焦點(diǎn)F，設(shè)A（m，n），即有mn=2017，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），對(duì)橢圓方程求導(dǎo)，可得切線的斜率和方程，再求切點(diǎn)弦PQ的方程，聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，再由橢圓的焦半徑公式和兩點(diǎn)的距離公式，化簡(jiǎn)所求式子，可得$\frac{9{m}^{2}}{225}$+$\frac{{n}^{2}}{9}$，再由重要不等式即可得到所求最小值．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的a=5，b=3，c=4，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{4}{5}$，
可得F（-4，0），
設(shè)A（m，n），即有mn=2017，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
即有$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{25}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{9}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{25}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{9}$=1，
兩邊對(duì)橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1兩邊求導(dǎo)，
可得$\frac{2x}{25}$+$\frac{2y•y′}{9}$=0，
即有P處的切線的斜率為-$\frac{9{x}_{1}}{25{y}_{1}}$，
可得切線的方程為y-y₁=-$\frac{9{x}_{1}}{25{y}_{1}}$（x-x₁），
化簡(jiǎn)可得$\frac{{x}_{1}x}{25}$+$\frac{{y}_{1}y}{9}$=1；
同理可得，Q處的切線方程為$\frac{{x}_{2}x}{25}$+$\frac{{y}_{2}y}{9}$=1．
又切線AP，AQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，可得
$\frac{m{x}_{1}}{25}$+$\frac{n{y}_{1}}{9}$=1，$\frac{m{x}_{2}}{25}$+$\frac{n{y}_{2}}{9}$=1，
由兩點(diǎn)確定一條直線，可得PQ的方程為$\frac{mx}{25}$+$\frac{ny}{9}$=1，
由$\left\{\begin{array}{l}{9mx+25ny=225}\\{9{x}^{2}+25{y}^{2}=225}\end{array}\right.$，消去y，可得
（81m²+225n²）x²-4050mx+225²-225×25n²=0，
即有x₁+x₂=$\frac{4050m}{81{m}^{2}+225{n}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{22{5}^{2}-225×25{n}^{2}}{81{m}^{2}+225{n}^{2}}$，
由橢圓的焦半徑公式可得|PF|=a+ex₁=5+$\frac{4}{5}$x₁，|QF|=a+ex₂=5+$\frac{4}{5}$x₂，
則$\frac{|AF{|}^{2}}{|PF||QF|}$=$\frac{（m+4）^{2}+{n}^{2}}{（5+\frac{4}{5}{x}_{1}）（5+\frac{4}{5}{x}_{2}）}$=$\frac{（m+4）^{2}+{n}^{2}}{25+4（{x}_{1}+{x}_{2}）+\frac{16}{25}{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{（m+4）^{2}+{n}^{2}}{25+\frac{4×4050m}{81{m}^{2}+225{n}^{2}}+\frac{16}{25}×\frac{22{5}^{2}-225×25{n}^{2}}{81{m}^{2}+225{n}^{2}}}$=$\frac{[（m+4）^{2}+{n}^{2}]（81{m}^{2}+225{n}^{2}）}{9×225[（m+4）^{2}+{n}^{2}]}$
設(shè)A（m，n），即有mn=2017，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
=$\frac{9{m}^{2}}{225}$+$\frac{{n}^{2}}{9}$≥2|$\frac{mn}{15}$|=$\frac{4034}{15}$，
當(dāng)且僅當(dāng)15|n|=9|m|，取得最小值$\frac{4034}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要是焦半徑公式的運(yùn)用，考查直線和橢圓相切的條件，以及切點(diǎn)弦方程的求法，直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于難題．