Question

4．已知函數(shù)f（x）=lnx+x²-2ax+a²，a∈R．
（1）若a=0，求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值；
（2）根據(jù)a的不同取值，討論函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)情況．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最小值即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷函數(shù)的極值問題．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=lnx+x²，其定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=$\frac{1}{x}$+2x＞0，
所以f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，當(dāng)x=1時(shí)，f（x）_min=f（1）=1；
故函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值是1．
（2）f′（x）=$\frac{{2x}^{2}-2ax+1}{x}$，g（x）=2x²-2ax=1，
（�。┊�(dāng)a≤0時(shí)，在（0，+∞）上g（x）＞0恒成立，
此時(shí)f′（x）＞0，函數(shù)f（x）無極值點(diǎn)；
（ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，若△=4a²-8≤0，即0＜a≤$\sqrt{2}$時(shí)，
在（0，+∞）上g（x）≥0恒成立，此時(shí)f′（x）≥0，函數(shù)f（x）無極值點(diǎn)；
若△=4a²-8＞0，即a＞$\sqrt{2}$時(shí)，易知當(dāng)$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$＜x＜$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$時(shí)，g（x）＜0，此時(shí)f′（x）＜0；
當(dāng)0＜x＜$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$或x＞$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$時(shí)，g（x）＞0，此時(shí)f′（x）＞0，
所以當(dāng)a＞$\sqrt{2}$時(shí)，x=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，x=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)，
綜上，當(dāng)a≤$\sqrt{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）無極值點(diǎn)；
a＞$\sqrt{2}$時(shí)，x=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，x=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．