Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)直線y=-x+2與圓x²+y²=r²交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，若圓上一點C滿足

OC

=

5

4

OA

+

3

4

OB，

則r=

 

．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：設(shè)＜

OA

，

OB

＞=θ，由

OC

=

5

4

OA

+

3

4

OB

兩邊同時平方可求cosθ，結(jié)合θ的范圍及公式cosθ=2cos2

θ

2

-1可求cos

θ

2

，結(jié)合三角函數(shù)及點到直線的距離公式可求圓心O到直線x+y-2=0的距離為d，進(jìn)而可求r

解答： 解：由題意可得，|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|=r
設(shè)＜

OA

，

OB

＞=θ，θ∈[0，π]
則

OA

•

OB

=|

OA

||

OB

|cosθ=r²cosθ
∵

OC

=

5

4

OA

+

3

4

OB

兩邊同時平方可得，

OC

2=

25

16

OA

2+

9

16

OB

2+

15

8

OA

•

OB

即r2=

25

16

r2+

9

16

r2+r2cosθ×

15

8

∴cosθ=-

3

5

∵cosθ=2cos2

θ

2

-1，

θ

2

∈[0，

π

2

]
∴且cos

θ

2

＞0
∴cos

θ

2

=

5

5

設(shè)圓心O到直線x+y-2=0的距離為d，則d=rcos

θ

2

=

2

2

=

2

即

5

5

r=

2

∴r=

10

故答案為：

10

．

點評：本題主要考查了直線與圓心的位置關(guān)系，三角函數(shù)知識的靈活的應(yīng)用是求解本題的關(guān)鍵．